ПОЛНОЕ РЕШЕНИЕ!!!

Даны точки A (3; −2), B (1; −1) и C (−1; 1). Найдите:

1. координаты векторов;
2. модули векторов;
3. координаты вектора;
4. скалярное произведение векторов;
5. косинус угла между векторами.

Геометрия 10 класс Векторы и их свойства координаты векторов модули векторов скалярное произведение косинус угла геометрия векторов Новый

Давайте поэтапно решим задачу, используя данные точки A (3; −2), B (1; −1) и C (−1; 1).

1. Найдем координаты векторов.

Для начала определим векторы AB и AC:

• Вектор AB = B - A = (1 - 3; -1 - (-2)) = (-2; 1).
• Вектор AC = C - A = (-1 - 3; 1 - (-2)) = (-4; 3).

Таким образом, координаты векторов:

• Вектор AB: (-2; 1)
• Вектор AC: (-4; 3)

2. Найдем модули векторов.

Модуль вектора определяется по формуле:

||v|| = √(x² + y²), где (x; y) - координаты вектора.

• Модуль вектора AB: ||AB|| = √((-2)² + 1²) = √(4 + 1) = √5.
• Модуль вектора AC: ||AC|| = √((-4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5.

3. Найдем координаты вектора BA.

Вектор BA можно найти, поменяв местами точки A и B:

• Вектор BA = A - B = (3 - 1; -2 - (-1)) = (2; -1).

Таким образом, координаты вектора BA: (2; -1).

4. Найдем скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение двух векторов (x1; y1) и (x2; y2) вычисляется по формуле:

AB · AC = x1 * x2 + y1 * y2.

Подставим координаты векторов AB и AC:

• AB · AC = (-2) * (-4) + 1 * 3 = 8 + 3 = 11.

5. Найдем косинус угла между векторами.

Косинус угла между двумя векторами можно найти по формуле:

cos(θ) = (AB · AC) / (||AB|| * ||AC||).

Подставим найденные значения:

• cos(θ) = 11 / (√5 * 5) = 11 / (5√5).

Таким образом, мы нашли все необходимые значения:

• Координаты векторов: AB (-2; 1), AC (-4; 3), BA (2; -1).
• Модули векторов: ||AB|| = √5, ||AC|| = 5.
• Координаты вектора BA: (2; -1).
• Скалярное произведение векторов: AB · AC = 11.
• Косинус угла между векторами: cos(θ) = 11 / (5√5).