Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 3 см и 5 см. Большая диагональ боковых граней образует угол 60 градусов с плоскостью основания. Как можно вычислить площадь полной поверхности этого параллелепипеда?

Геометрия 10 класс Параллелепипеды и их свойства параллелепипед площадь полной поверхности геометрия угол 60 градусов диагональ боковых граней вычисление площади стороны основания 3 см 5 см Новый

Для нахождения площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда, нам необходимо знать все его размеры: длину, ширину и высоту. В данном случае, основание параллелепипеда имеет размеры 3 см и 5 см, а высоту мы будем находить через угол, образованный большой диагональю боковых граней с плоскостью основания.

Шаги решения:

1. Находим длину диагонали основания:
• Длина диагонали прямоугольного основания (d) вычисляется по формуле: d = sqrt(a^2 + b^2), где a и b - стороны основания.
• Подставим значения: d = sqrt(3^2 + 5^2) = sqrt(9 + 25) = sqrt(34) см.
2. Определяем высоту параллелепипеда:
• Большая диагональ боковой грани (D) также может быть найдена. Она образует прямоугольный треугольник с высотой h и длиной диагонали основания d. Используем тригонометрию.
• Из условия задачи известно, что угол между диагональю и плоскостью основания равен 60 градусов. Таким образом, мы можем использовать косинус этого угла:
• cos(60) = h / D, где D = sqrt(d^2 + h^2).
• Так как cos(60) = 0.5, мы имеем: 0.5 = h / sqrt(34 + h^2).
• Теперь выразим h:
• 0.5 * sqrt(34 + h^2) = h.
• Квадратим обе стороны: 0.25 * (34 + h^2) = h^2.
• Упрощаем: 8.5 + 0.25h^2 = h^2.
• Переносим все в одну сторону: 0.75h^2 - 8.5 = 0.
• Решаем уравнение: h^2 = 8.5 / 0.75 = 11.33, h = sqrt(11.33) ≈ 3.37 см.
3. Находим площадь полной поверхности:
• Площадь полной поверхности (S) параллелепипеда вычисляется по формуле: S = 2(ab + ac + bc), где a, b - размеры основания, c - высота.
• Подставляем известные значения: S = 2(3*5 + 3*3.37 + 5*3.37).
• Вычисляем: S = 2(15 + 10.11 + 16.85) = 2(41.96) = 83.92 см².

Ответ: Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда составляет примерно 83.92 см².