У основания прямоугольного параллелепипеда расположен квадрат. Диагональ боковой грани параллелепипеда составляет 8 см и образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Как можно вычислить объем параллелепипеда? Прошу решить задачу.

Геометрия 10 класс Объем прямоугольного параллелепипеда объем параллелепипеда прямоугольный параллелепипед диагональ боковой грани угол 30 градусов плоскость основания геометрия 10 класс решение задачи по геометрии Новый

Для решения задачи давайте начнем с анализа информации, которая у нас есть. У нас есть прямоугольный параллелепипед, у которого основание – квадрат. Это значит, что длина всех сторон основания равна, и мы обозначим ее как a.

Также нам известно, что диагональ боковой грани параллелепипеда составляет 8 см и образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Боковая грань параллелепипеда представляет собой прямоугольник, у которого одна сторона равна a (сторона основания), а другая сторона равна высоте параллелепипеда, которую мы обозначим как h.

Теперь давайте найдем длину диагонали боковой грани. Диагональ D боковой грани можно вычислить по формуле:

D = √(a² + h²)

Так как нам известно, что D = 8 см, подставим это значение в формулу:

8 = √(a² + h²)

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

64 = a² + h²

Далее, нам нужно учесть угол между диагональю и плоскостью основания. Угол 30 градусов говорит нам о том, что мы можем использовать тригонометрию. В данном случае мы можем использовать косинус этого угла для нахождения высоты h:

Косинус угла равен отношению прилежащего катета (высота h) к гипотенузе (диагонали D):

cos(30°) = h / D

Подставим известные значения:

cos(30°) = h / 8

Зная, что cos(30°) = √3/2, мы можем записать:

√3/2 = h / 8

Теперь выразим h:

h = 8 * (√3/2) = 4√3

Теперь у нас есть выражение для h. Подставим его в уравнение для диагонали:

64 = a² + (4√3)²

Вычислим (4√3)²:

(4√3)² = 16 * 3 = 48

Теперь подставим это значение в уравнение:

64 = a² + 48

Выразим a²:

a² = 64 - 48 = 16

Теперь найдем a:

a = √16 = 4 см

Теперь у нас есть длина стороны квадрата основания (a = 4 см) и высота (h = 4√3 см). Теперь мы можем найти объем V параллелепипеда, используя формулу:

V = a² * h

Подставим найденные значения:

V = 4² 4√3 = 16 4√3 = 64√3 см³

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда составляет 64√3 см³.