Для решения задачи давайте начнем с анализа информации, которая у нас есть. У нас есть прямоугольный параллелепипед, у которого основание – квадрат. Это значит, что длина всех сторон основания равна, и мы обозначим ее как a.

Также нам известно, что диагональ боковой грани параллелепипеда составляет 8 см и образует угол 30 градусов с плоскостью основания. Боковая грань параллелепипеда представляет собой прямоугольник, у которого одна сторона равна a (сторона основания),а другая сторона равна высоте параллелепипеда, которую мы обозначим как h.

Теперь давайте найдем длину диагонали боковой грани. Диагональ D боковой грани можно вычислить по формуле:

Так как нам известно, что D = 8 см, подставим это значение в формулу:

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

Далее, нам нужно учесть угол между диагональю и плоскостью основания. Угол 30 градусов говорит нам о том, что мы можем использовать тригонометрию. В данном случае мы можем использовать косинус этого угла для нахождения высоты h:

Косинус угла равен отношению прилежащего катета (высота h) к гипотенузе (диагонали D):

Подставим известные значения:

Зная, что cos(30°) = √3/2, мы можем записать:

Теперь выразим h:

Теперь у нас есть выражение для h. Подставим его в уравнение для диагонали:

Вычислим (4√3)²:

Теперь подставим это значение в уравнение:

Выразим a²:

Теперь найдем a:

Теперь у нас есть длина стороны квадрата основания (a = 4 см) и высота (h = 4√3 см). Теперь мы можем найти объем V параллелепипеда, используя формулу:

Подставим найденные значения:

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда составляет 64√3 см³.