В основании тетраэдра SABC находится равносторонний треугольник ABC со стороной 4. Какова градусная мера угла между плоскостями (SAC) и (ABC), если SA равно 2 корням из 7, а ребро SB перпендикулярно плоскости (ABC)?

Геометрия 10 класс Углы между плоскостями в пространстве тетраэдр равносторонний треугольник Угол между плоскостями геометрия 10 класс SA равно 2 корням из 7 перпендикулярно плоскости ABC Новый

Для решения задачи нам необходимо найти угол между плоскостями (SAC) и (ABC). Давайте разберем шаги, которые нам нужно выполнить.

Шаг 1: Определим координаты точек A, B, C и S.

• Пусть A(0, 0, 0) - одна из вершин треугольника ABC.
• Поскольку ABC - равносторонний треугольник со стороной 4, координаты остальных вершин можно определить следующим образом:
• B(4, 0, 0) - вторая вершина, находящаяся на оси X.
• C(2, 2√3, 0) - третья вершина, которая находится на плоскости XY.
• Теперь определим координаты точки S. Поскольку SA = 2√7, мы можем взять S(0, 0, 2√7).

Шаг 2: Найдем векторы, лежащие в плоскостях (SAC) и (ABC).

• Вектор SA: S(0, 0, 2√7) - A(0, 0, 0) = (0, 0, 2√7).
• Вектор SC: S(0, 0, 2√7) - C(2, 2√3, 0) = (-2, -2√3, 2√7).

Шаг 3: Найдем нормальный вектор к плоскости (ABC).

• Векторы AB и AC:
• AB = B - A = (4, 0, 0) - (0, 0, 0) = (4, 0, 0).
• AC = C - A = (2, 2√3, 0) - (0, 0, 0) = (2, 2√3, 0).
• Нормальный вектор к плоскости (ABC) можно найти с помощью векторного произведения AB и AC:
• n = AB x AC = |i j k|
• |4 0 0|
• |2 2√3 0|
• n = (0 * 0 - 0 * 2√3)i - (4 * 0 - 0 * 2)j + (4 * 2√3 - 0 * 2)k = (0, 0, 8√3).

Шаг 4: Найдем угол между плоскостями.

• Угол между двумя плоскостями определяется через нормальные векторы. Найдем угол между нормальным вектором плоскости (ABC) и вектором SA.
• Нормальный вектор к (SAC) равен вектору SA, который мы нашли ранее: (0, 0, 2√7).

Шаг 5: Используем скалярное произведение для нахождения угла.

• Скалярное произведение двух векторов n1 и n2 определяется как:
• cos(θ) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|), где θ - угол между векторами.
• В нашем случае:
• n1 = (0, 0, 8√3), n2 = (0, 0, 2√7).
• Скалярное произведение: n1 * n2 = 0 * 0 + 0 * 0 + 8√3 * 2√7 = 16√21.
• Длины векторов: |n1| = 8√3, |n2| = 2√7.
• Теперь подставим в формулу: cos(θ) = 16√21 / (8√3 * 2√7) = 16√21 / 16√21 = 1.
• Это означает, что угол θ = 0 градусов, т.е. плоскости (SAC) и (ABC) совпадают.

Ответ: Угол между плоскостями (SAC) и (ABC) равен 0 градусов.