Какой угол образуют плоскость грани АА1В1В и плоскость ВС1D в прямоугольном параллелепипеде АВСDА1В1С1D1, если известны размеры АВ = ВВ1 = 3 и ВС = 5?

Геометрия 10 класс Углы между плоскостями в пространстве Угол между плоскостями прямоугольный параллелепипед размеры параллелепипеда геометрические задачи плоскости в геометрии угол между гранями геометрия 10 класс Новый

Чтобы найти угол между двумя плоскостями в прямоугольном параллелепипеде, необходимо выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определим координаты вершин параллелепипеда.

Пусть вершины параллелепипеда будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• B(3, 0, 0)
• C(3, 5, 0)
• D(0, 5, 0)
• A1(0, 0, h) - высота h пока неизвестна
• B1(3, 0, h)
• C1(3, 5, h)
• D1(0, 5, h)

Из задачи мы знаем, что АВ = 3 и ВВ1 = 3, следовательно, высота h также равна 3, так как это прямоугольный параллелепипед.

Шаг 2: Запишем координаты всех вершин с учетом высоты.

• A(0, 0, 0)
• B(3, 0, 0)
• C(3, 5, 0)
• D(0, 5, 0)
• A1(0, 0, 3)
• B1(3, 0, 3)
• C1(3, 5, 3)
• D1(0, 5, 3)

Шаг 3: Найдем нормальные векторы плоскостей.

Плоскость грани АА1В1В образована точками A, A1, B1 и B:

• Вектор AB = B - A = (3, 0, 0)
• Вектор AA1 = A1 - A = (0, 0, 3)

Нормальный вектор к плоскости AAB1B можно найти с помощью векторного произведения:

• n1 = AB x AA1 = (3, 0, 0) x (0, 0, 3) = (0, -9, 0)

Теперь найдем нормальный вектор для плоскости BCD, которая проходит через точки B, C, D:

• Вектор BC = C - B = (0, 5, 0)
• Вектор BD = D - B = (-3, 5, 0)

Нормальный вектор к плоскости BCD также вычисляется через векторное произведение:

• n2 = BC x BD = (0, 5, 0) x (-3, 5, 0) = (0, 0, -15)

Шаг 4: Найдем угол между нормальными векторами.

Угол между плоскостями можно найти через скалярное произведение нормальных векторов:

• cos(θ) = (n1 * n2) / (|n1| * |n2|)

Сначала найдем скалярное произведение:

• n1 * n2 = (0, -9, 0) * (0, 0, -15) = 0

Теперь найдем длины векторов:

• |n1| = √(0^2 + (-9)^2 + 0^2) = 9
• |n2| = √(0^2 + 0^2 + (-15)^2) = 15

Теперь подставим в формулу:

• cos(θ) = 0 / (9 * 15) = 0

Это означает, что угол θ = 90 градусов.

Ответ:

Угол между плоскостью грани АА1В1В и плоскостью ВС1D равен 90 градусов.