Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно использовать формулу:

V = (1/3) * S * h

где V - объем пирамиды, S - площадь основания, h - высота пирамиды.

В нашем случае основание пирамиды - это квадрат ABCD, и его сторона равна 4√2. Давайте сначала найдем площадь основания S.

• Площадь квадрата вычисляется по формуле S = a², где a - длина стороны квадрата.
• Подставляем значение: S = (4√2)² = 16 * 2 = 32.

Теперь у нас есть площадь основания S = 32.

Следующий шаг - найти высоту h пирамиды. В правильной четырехугольной пирамиде высота опускается из вершины S на центр основания O квадрата ABCD. Для этого мы сначала найдем расстояние от точки O до одной из вершин квадрата, например, до точки A.

• Центр квадрата O находится в точке (2√2, 2√2) (половина стороны от каждой из вершин).
• Координаты вершины A (0, 0).
• Расстояние AO = √((2√2 - 0)² + (2√2 - 0)²) = √(8 + 8) = √16 = 4.

Теперь мы имеем треугольник SOA, где SA - боковое ребро, OA - расстояние от центра основания до вершины, а h - высота пирамиды. Используем теорему Пифагора:

SA² = OA² + h²

Подставляем известные значения:

• SA = 5, OA = 4.
• 5² = 4² + h².
• 25 = 16 + h².
• h² = 25 - 16 = 9.
• h = √9 = 3.

Теперь у нас есть высота h = 3.

Теперь мы можем подставить значения S и h в формулу для объема:

V = (1/3) * S * h = (1/3) * 32 * 3 = 32.

Таким образом, объем пирамиды SABCD равен 32.