В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а проекция меньшего катета на гипотенузу составляет 3,6. Как можно определить радиус окружности, вписанной в данный треугольник?

Геометрия 10 класс Вписанная окружность в треугольник прямоугольный треугольник гипотенуза радиус окружности вписанная окружность проекция катета геометрия задачи по геометрии математические формулы Тригонометрия свойства треугольников Новый

Для нахождения радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, можно использовать формулу:

r = (a + b - c) / 2

где r - радиус вписанной окружности, a и b - длины катетов, c - длина гипотенузы.

В нашем случае гипотенуза c равна 10, а проекция меньшего катета на гипотенузу составляет 3,6. Давайте обозначим меньший катет как a, а больший катет как b.

Сначала нам нужно найти длины катетов. Мы знаем, что проекция меньшего катета на гипотенузу равна 3,6. Обозначим проекцию меньшего катета на гипотенузу через a1. По свойству прямоугольного треугольника:

a1 = a * cos(α)

где α - угол между меньшим катетом и гипотенузой. Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения второго катета b:

a^2 + b^2 = c^2

Теперь, чтобы найти b, нам нужно выразить a через a1:

a = a1 / cos(α)

Так как у нас нет значения угла α, мы можем использовать соотношение между катетами и гипотенузой. Обозначим длину меньшего катета как a и используем теорему Пифагора:

Мы знаем, что a1 = 3,6, и гипотенуза c = 10. Мы можем найти a и b через уравнение:

1. Используем теорему синусов:
• a / sin(β) = c / sin(90°)
• b / sin(α) = c / sin(90°)
2. Из этого уравнения можно выразить a и b, но проще будет использовать соотношение между проекцией и катетом:
• Проекция меньшего катета a1 = a * (b / c), где b - другой катет.

Теперь подставим значения:

3,6 = a * (b / 10)

Таким образом, мы можем выразить b через a:

b = (3,6 * 10) / a

Теперь подставим b в теорему Пифагора:

a^2 + ((3,6 * 10) / a)^2 = 10^2

Решив это уравнение, мы найдем a, а затем и b.

Когда мы найдем значения a и b, подставим их в формулу для радиуса:

r = (a + b - 10) / 2

Таким образом, мы сможем найти радиус вписанной окружности треугольника.