В прямоугольном треугольнике, который вписан в окружность с радиусом корень из 3, какая длина высоты, проведенной на гипотенузу, если один из катетов равен радиусу описанной окружности? Ответ: 1.5.

Геометрия 10 класс Вписанная и описанная окружности треугольника прямоугольный треугольник окружность радиус высота гипотенуза катет длина геометрия Новый

В данной задаче нам нужно найти длину высоты, проведенной на гипотенузу в прямоугольном треугольнике, который вписан в окружность с радиусом корень из 3. Один из катетов равен радиусу описанной окружности, то есть корень из 3.

Давайте разберем решение по шагам:

1. Определим радиус окружности:
   • Радиус окружности R = корень из 3.
2. Найдем гипотенузу:
   • Для прямоугольного треугольника, вписанного в окружность, гипотенуза равна 2R.
   • Таким образом, гипотенуза c = 2 * корень из 3 = 2корень из 3.
3. Найдем длину высоты:
   • Пусть один из катетов a = корень из 3, а другой катет b мы обозначим как b.
   • Согласно формуле для площади треугольника, площадь S можно выразить двумя способами:
   • S = (1/2) * a * b.
   • S = (1/2) * c * h, где h - высота на гипотенузу.
   • Приравняем оба выражения:
   • (1/2) * корень из 3 * b = (1/2) * 2корень из 3 * h.
   • Сократим на (1/2) и получим:
   • корень из 3 * b = 2корень из 3 * h.
   • Теперь разделим обе стороны на корень из 3:
   • b = 2h.
   • Таким образом, высота h равна b/2.
4. Найдем значение b:
   • Используя теорему Пифагора, у нас есть:
   • c^2 = a^2 + b^2.
   • (2корень из 3)^2 = (корень из 3)^2 + b^2.
   • 12 = 3 + b^2.
   • b^2 = 12 - 3 = 9.
   • Таким образом, b = 3.
5. Теперь подставим b в формулу для высоты:
   • h = b/2 = 3/2 = 1.5.

Таким образом, длина высоты, проведенной на гипотенузу, равна 1.5.