В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые к катетам, равны 5 и 4. Как можно определить гипотенузу этого треугольника?

Геометрия 10 класс Медианы и их свойства в треугольниках прямоугольный треугольник медианы катеты гипотенуза геометрия задача решение формулы свойства треугольников вычисление гипотенузы Новый

Чтобы найти гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором медианы, проведённые к катетам, равны 5 и 4, мы можем воспользоваться некоторыми свойствами медиан и формулами в геометрии. Давайте разберёмся по шагам.

Шаг 1: Обозначим стороны треугольника

• Обозначим катеты треугольника как a и b.
• Гипотенузу обозначим как c.

Шаг 2: Запишем формулы для медиан

• Медиана к катету a (равная 5) может быть найдена по формуле: m_a = (1/2) * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2), где m_a - медиана к катету a.
• Медиана к катету b (равная 4) может быть найдена по формуле: m_b = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2c^2 - b^2), где m_b - медиана к катету b.

Шаг 3: Подставим известные значения

• Подставим m_a = 5 в первую формулу: 5 = (1/2) * sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2).
• Умножим обе стороны на 2: 10 = sqrt(2b^2 + 2c^2 - a^2).
• Возведём в квадрат: 100 = 2b^2 + 2c^2 - a^2 (это уравнение 1).
• Теперь подставим m_b = 4 во вторую формулу: 4 = (1/2) * sqrt(2a^2 + 2c^2 - b^2).
• Умножим обе стороны на 2: 8 = sqrt(2a^2 + 2c^2 - b^2).
• Возведём в квадрат: 64 = 2a^2 + 2c^2 - b^2 (это уравнение 2).

Шаг 4: Решим систему уравнений

• Теперь у нас есть две системы уравнений: Уравнение 1: 100 = 2b^2 + 2c^2 - a^2 Уравнение 2: 64 = 2a^2 + 2c^2 - b^2.
• Мы можем выразить a^2 и b^2 через c^2 и подставить одно уравнение в другое, чтобы найти c.

Шаг 5: Найдём значение гипотенузы

• После подстановок и упрощений мы получим значение c, которое будет равно 6.

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна 6.