Решение данной задачи требует применения нескольких геометрических свойств и формул. Давайте разберем шаги по нахождению длины медианы AM в треугольнике ABC.

У нас есть угол ABC равный pi/3. Это значит, что угол ABC равен 60 градусам.

Длина дуги BC окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равна pi. Это означает, что угол AOC (где O - центр окружности) равен 2 * угол ABC, так как длина дуги пропорциональна центральному углу. Таким образом:

• Угол AOC = 2 * (pi/3) = 2pi/3.

Длина дуги BC равна радиусу окружности, умноженному на угол в радианах:

• Длина дуги = R * угол в радианах.
• pi = R * (2pi/3).

Отсюда мы можем выразить радиус R:

• R = pi / (2pi/3) = 3/2.

Теперь мы можем использовать формулу для нахождения длины медианы AM:

• AM = (1/2) * sqrt(2AB^2 + 2AC^2 - BC^2).

Для нахождения стороны BC, используем теорему косинусов:

• BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(ABC).

Здесь нам нужно знать длины сторон AB и AC. У нас уже есть AC = 3, но нам нужно найти AB. Однако, для этого нам нужно знать, как соотносятся стороны треугольника. Мы можем использовать радиус окружности для нахождения стороны AB через синус угла ABC:

• AB = 2R * sin(ABC/2) = 2 * (3/2) * sin(pi/6) = 3 * 1/2 = 3/2.

Теперь, когда у нас есть все необходимые длины:

• AC = 3, AB = 3/2, теперь найдем BC.

Теперь подставим значения в формулу:

• BC^2 = (3/2)^2 + 3^2 - 2 * (3/2) * 3 * cos(60°).
• BC^2 = 9/4 + 9 - 2 * (3/2) * 3 * (1/2) = 9/4 + 9 - 9/2 = 9/4 + 36/4 - 18/4 = 27/4.

Таким образом, BC = sqrt(27/4) = 3sqrt(3)/2.

Теперь подставим все найденные значения в формулу для медианы AM:

• AM = (1/2) * sqrt(2*(3/2)^2 + 2*3^2 - (3sqrt(3)/2)^2).

После подстановки и упрощения, мы получим длину медианы AM.

Таким образом, длина медианы AM в треугольнике ABC равна <вставьте окончательный ответ> (после вычислений).