Вершины прямоугольника, который вписан в окружность, делят эту окружность на четыре дуги. Какое расстояние от середины одной из больших дуг до вершин прямоугольника, если длины его сторон составляют 24 см и 7 см?

Пожалуйста, решите эту задачу подробно!

Геометрия 10 класс Вписанные и описанные фигуры геометрия прямоугольник окружность длина сторон расстояние дуга решение задачи вершины прямоугольника середина дуги 24 см 7 см Новый

Для решения данной задачи сначала вспомним, что прямоугольник, вписанный в окружность, является прямоугольником с равными диагоналями. Давайте обозначим стороны прямоугольника как a = 24 см и b = 7 см.

1. **Найдем длину диагонали прямоугольника.**

• Диагональ прямоугольника можно найти по теореме Пифагора: d = √(a² + b²).
• Подставляем значения: d = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √625 = 25 см.

2. **Определим радиус окружности.**

• Так как прямоугольник вписан в окружность, радиус окружности (R) равен половине длины диагонали: R = d/2 = 25 см / 2 = 12.5 см.

3. **Теперь найдем длину большой дуги.**

• Поскольку прямоугольник делит окружность на 4 равные дуги, длина каждой дуги будет равна 1/4 от длины окружности.
• Длина окружности рассчитывается по формуле: C = 2 * π * R.
• Подставляем радиус: C = 2 * π * 12.5 см = 25π см.
• Длина одной дуги будет равна: L = C / 4 = (25π) / 4 см.

4. **Теперь найдем расстояние от середины одной из больших дуг до вершин прямоугольника.**

• Середина большой дуги будет находиться на расстоянии R от центра окружности.
• Так как прямоугольник симметричен, расстояние от центра до любой из вершин прямоугольника будет равно радиусу окружности R.
• Таким образом, расстояние от середины дуги до вершины прямоугольника можно найти, используя прямоугольный треугольник, где одна сторона — это радиус R, а другая сторона — это расстояние от центра окружности до середины дуги.

5. **Расстояние от середины дуги до вершины прямоугольника.**

• Это расстояние будет равно: D = R - h, где h — это расстояние от центра окружности до горизонтальной линии, проходящей через вершины прямоугольника.
• Так как прямоугольник вписан в окружность, h = b/2 = 7 см / 2 = 3.5 см.
• Таким образом, D = R - h = 12.5 см - 3.5 см = 9 см.

Ответ: Расстояние от середины одной из больших дуг до вершин прямоугольника составляет 9 см.