Вопрос: Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где боковое ребро равно 5, а сторона основания равна 3√3. Как можно найти высоту и площадь этой пирамиды?

Геометрия 10 класс Пирамида правильная четырехугольная пирамида SABCD боковое ребро высота пирамиды площадь пирамиды сторона основания ³√3 геометрия 10 класс задачи по геометрии нахождение высоты нахождение площади формулы для пирамиды Новый

Чтобы найти высоту и площадь правильной четырехугольной пирамиды SABCD, давайте сначала разберемся с ее характеристиками.

1. **Определим высоту пирамиды.**

• Сначала найдем радиус окружности, описанной около основания. Поскольку основание является квадратом со стороной 3√3, его диагональ можно вычислить по формуле:

Диагональ = сторона * √2 = 3√3 * √2 = 3√6.

• Радиус описанной окружности R равен половине диагонали:

R = (3√6) / 2.

2. **Теперь найдем высоту.** Высота H пирамиды, боковое ребро и радиус описанной окружности образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

• Боковое ребро (SA) равно 5;
• Радиус описанной окружности (R) равен (3√6) / 2;
• Высота (H) является одной из сторон треугольника.

По теореме Пифагора мы можем записать следующее уравнение:

H^2 + R^2 = SA^2.

Подставим известные значения:

H^2 + ((3√6) / 2)^2 = 5^2.

Вычислим R^2:

R^2 = (3√6 / 2)² = 9 * 6 / 4 = 54 / 4 = 13.5.

Теперь подставим это значение в уравнение:

H^2 + 13.5 = 25.

Теперь найдем H^2:

H^2 = 25 - 13.5 = 11.5.

Таким образом, высота H = √11.5.

3. **Теперь найдем площадь пирамиды.** Площадь пирамиды состоит из площади основания и площади боковых граней.

Площадь основания (Sосн) равна:

Sосн = сторона² = (3√3)² = 27.

Теперь найдем площадь боковых граней. Поскольку у нас правильная пирамида, все боковые грани являются равными треугольниками. Площадь одного треугольника можно найти по формуле:

Sбок = 1/2 * основание * высота.

Основание треугольника равно 3 (сторона основания), а высота треугольника равна H, которая равна √11.5.

Следовательно, площадь одного треугольника:

Sбок = 1/2 * 3 * √11.5.

Так как у нас 4 боковые грани, общая площадь боковых граней будет:

4 * Sбок = 4 * (1/2 * 3 * √11.5) = 6 * √11.5.

4. **Теперь найдем полную площадь пирамиды:**

Площадь полной пирамиды = Sосн + 4 * Sбок = 27 + 6 * √11.5.

Итак, мы нашли высоту и площадь правильной четырехугольной пирамиды.