1) Какое расстояние между точкой M и плоскостью квадрата ABCD, если известно, что точка равноудалена от всех вершин квадрата со стороной 3 корень 2 см, а угол между прямой АМ и плоскостью квадрата составляет 30°?

2) Какое расстояние от точки M до плоскости правильного треугольника ABC, если точка M равноудалена от сторон треугольника со стороной 18√2 см и центром O, а угол между плоскостью ABM и плоскостью правильного треугольника равен 60°?

Геометрия 11 класс Расстояние от точки до плоскости расстояние между точкой M и плоскостью квадрата точка равноудалена от вершин квадрата угол между прямой АМ и плоскостью квадрата расстояние от точки M до плоскости треугольника точка M равноудалена от сторон треугольника угол между плоскостью ABM и плоскостью треугольника Новый

Давайте разберем оба вопроса шаг за шагом.

1) Расстояние между точкой M и плоскостью квадрата ABCD:

Для решения этой задачи нам нужно использовать информацию о том, что точка M равноудалена от всех вершин квадрата и угол между прямой AM и плоскостью квадрата составляет 30°.

• Сначала определим координаты вершин квадрата ABCD. Пусть квадрат расположен в координатной плоскости, и его вершины имеют координаты:
  • A(0, 0, 0)
  • B(3√2, 0, 0)
  • C(3√2, 3√2, 0)
  • D(0, 3√2, 0)
• Поскольку точка M равноудалена от всех вершин квадрата, она будет находиться в центре квадрата. Координаты центра квадрата можно найти следующим образом:
  • Центр квадрата O = ((0 + 3√2) / 2, (0 + 3√2) / 2, 0) = (3√2 / 2, 3√2 / 2, 0).
• Теперь, поскольку угол между прямой AM и плоскостью квадрата составляет 30°, мы можем найти высоту точки M над плоскостью квадрата. Высота h может быть найдена по формуле:
  • h = d * sin(α), где d - расстояние от точки M до плоскости, α - угол между прямой AM и плоскостью.
• Расстояние d от точки M до плоскости квадрата равно радиусу, равному расстоянию от центра квадрата до его вершин. Это расстояние можно найти по формуле:
  • d = √((3√2 / 2)^2 + (3√2 / 2)^2) = √(9 / 2) = 3 / √2.
• Теперь подставим значение d и угол α в формулу для высоты:
  • h = (3 / √2) * sin(30°) = (3 / √2) * 0.5 = 3 / (2√2).

Таким образом, расстояние между точкой M и плоскостью квадрата ABCD равно 3 / (2√2) см.

2) Расстояние от точки M до плоскости правильного треугольника ABC:

Для решения этой задачи мы используем аналогичный подход. Точка M равноудалена от сторон треугольника, и угол между плоскостью ABM и плоскостью треугольника равен 60°.

• Сначала найдем координаты вершин правильного треугольника ABC со стороной 18√2 см. Пусть A(0, 0, 0), B(18√2, 0, 0), C(9√2, 9√6, 0).
• Центр O равностороннего треугольника можно найти по формуле:
  • O = ((0 + 18√2 + 9√2) / 3, (0 + 0 + 9√6) / 3) = (9√2, 3√6, 0).
• Поскольку точка M равноудалена от сторон треугольника, расстояние от O до стороны AB можно найти, используя формулу для расстояния от точки до прямой. Это расстояние будет равно высоте треугольника, которая равна:
  • h = (18√2 * √3) / 2 = 27√6.
• Теперь, используя угол 60°, мы можем найти расстояние от точки M до плоскости треугольника:
  • d = h * sin(60°) = 27√6 * √3 / 2 = 27√18 / 2 = 27 * 3√2 / 2 = 81√2 / 2.

Таким образом, расстояние от точки M до плоскости правильного треугольника ABC равно 81√2 / 2 см.