1. Какова высота прямого кругового конуса, если площадь его осевого сечения составляет 6 см в квадрате, а площадь основания равна 8 см в квадрате?

2. Если высота конуса равна радиусу R его основания и через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60 градусов, какова площадь сечения?

Геометрия 11 класс Сечения конуса высота прямого кругового конуса площадь осевого сечения площадь основания конуса радиус основания конуса площадь сечения конуса дуга в 60 градусов геометрия 11 класс Новый

Чтобы решить первую задачу, начнем с определения основных характеристик прямого кругового конуса. Площадь осевого сечения конуса равна площади треугольника, образованного высотой конуса и радиусом основания.

Шаги решения:

1. Обозначим радиус основания конуса как R, а высоту как h.
2. Площадь осевого сечения равна (1/2) * R * h. По условию задачи, эта площадь равна 6 см²:
3. (1/2) * R * h = 6.
4. Площадь основания конуса равна π * R². По условию задачи, эта площадь равна 8 см²:
5. Таким образом, π * R² = 8.
6. Теперь мы можем выразить R из второго уравнения: R² = 8/π, следовательно, R = √(8/π).
7. Подставим значение R в первое уравнение:
8. (1/2) * √(8/π) * h = 6.
9. Умножим обе стороны на 2:
10. √(8/π) * h = 12.
11. Теперь выразим h:
12. h = 12 / √(8/π).
13. Упростим это выражение, чтобы найти высоту конуса.

Теперь перейдем ко второй задаче. Здесь нужно найти площадь сечения конуса, которое образуется при отсечении дуги в 60 градусов.

Шаги решения:

1. По условию, высота конуса равна радиусу основания R. Таким образом, у нас есть равнобедренный треугольник, где основание - это дуга, а высота - это высота конуса.
2. Площадь сечения конуса можно найти как площадь сектора окружности, которая образуется при отсечении. Площадь сектора равна (θ/360) * π * R², где θ - угол в градусах.
3. Подставим значения: θ = 60 градусов и R = R:
4. Площадь сечения = (60/360) * π * R² = (1/6) * π * R².
5. Теперь подставим R², которое мы нашли ранее, из первого задания. R² = 8/π.
6. Таким образом, площадь сечения = (1/6) * π * (8/π) = (8/6) = 4/3 см².

Итак, мы нашли высоту конуса и площадь сечения, используя основные формулы для площади треугольника и сектора окружности.