4. а) Даны векторы a (4; -1; 5) и B(-2; 2; 2). Являются ли эти векторы перпендикулярными? б) Рассмотрим векторы a (1; 3p; 2q) и c (-(9p^2+4q^2); 3p; 2q), где p и q – некоторые постоянные. Как можно доказать, что векторы a и c перпендикулярны для всех ненулевых значений p и q?

Геометрия 11 класс Векторы и их свойства векторы перпендикулярные векторы геометрия 11 класс доказательство перпендикулярности свойства векторов векторы a и b векторы a и c значения p и q условия перпендикулярности Новый

Давайте разберем оба пункта задачи по порядку.

а) Проверка перпендикулярности векторов a и B

Векторы являются перпендикулярными, если их скалярное произведение равно нулю. Скалярное произведение двух векторов a(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) вычисляется по формуле:

(x1 * x2) + (y1 * y2) + (z1 * z2)

Теперь подставим значения векторов a и B:

• a = (4; -1; 5)
• B = (-2; 2; 2)

1. Вычислим скалярное произведение:
2. (4 * -2) + (-1 * 2) + (5 * 2)
3. -8 - 2 + 10
4. = 0

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы a и B являются перпендикулярными.

б) Проверка перпендикулярности векторов a и c

Векторы a и c заданы как:

• a = (1; 3p; 2q)
• c = (-(9p^2 + 4q^2); 3p; 2q)

Чтобы доказать, что векторы a и c перпендикулярны для всех ненулевых значений p и q, нам нужно также вычислить их скалярное произведение:

1. Скалярное произведение векторов a и c:
2. (1 * -(9p^2 + 4q^2)) + (3p * 3p) + (2q * 2q)
3. = -(9p^2 + 4q^2) + 9p^2 + 4q^2
4. = 0

Таким образом, скалярное произведение векторов a и c также равно нулю. Это означает, что векторы a и c являются перпендикулярными для всех ненулевых значений p и q.