Цилиндр помещён внутрь правильной треугольной призмы, у которой все рёбра равны. Объём этой призмы составляет 144. Какой объём у цилиндра?

Геометрия 11 класс Объём цилиндра и призмы объём цилиндра объём призмы правильная треугольная призма геометрия 11 класс задачи по геометрии Новый

Для нахождения объёма цилиндра, помещённого внутрь правильной треугольной призмы, нам сначала нужно определить необходимые параметры призмы и цилиндра.

1. Объём призмы: Объём правильной треугольной призмы можно вычислить по формуле:

• V = S * h,

где V - объём призмы, S - площадь основания (правильного треугольника), h - высота призмы.

2. Площадь основания: Площадь правильного треугольника со стороной a можно найти по формуле:

• S = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

3. Объём призмы равен 144: Подставим значение объёма в формулу:

• 144 = S * h.

4. Высота призмы: Поскольку все рёбра призмы равны, высота h также равна стороне a. Таким образом, мы можем выразить объём призмы через сторону a:

• 144 = S * a.

5. Подставляем выражение для площади:

• 144 = ((a^2 * sqrt(3)) / 4) * a.

6. Упрощаем уравнение:

• 144 = (a^3 * sqrt(3)) / 4.

7. Умножаем обе стороны на 4:

• 576 = a^3 * sqrt(3).

8. Находим a:

• a^3 = 576 / sqrt(3).

9. Теперь найдём радиус основания цилиндра: Радиус r цилиндра, помещённого в призму, равен высоте правильного треугольника, который равен:

• r = (a * sqrt(3)) / 6.

10. Объём цилиндра: Объём цилиндра можно вычислить по формуле:

• V_cylinder = π * r^2 * h.

где h - высота цилиндра, которая равна высоте призмы a.

11. Подставляем значения:

• V_cylinder = π * ((a * sqrt(3)) / 6)^2 * a.

12. Упрощаем:

• V_cylinder = π * (a^2 * 3 / 36) * a = (π * a^3 * sqrt(3)) / 12.

13. Теперь подставим значение a^3:

• V_cylinder = (π * (576 / sqrt(3)) * sqrt(3)) / 12 = (576 * π) / 12 = 48 * π.

Таким образом, объём цилиндра составляет 48π.