Для нахождения объёма цилиндра, помещённого внутрь правильной треугольной призмы, нам сначала нужно определить необходимые параметры призмы и цилиндра.

1. Объём призмы: Объём правильной треугольной призмы можно вычислить по формуле:

• V = S * h,

где V - объём призмы, S - площадь основания (правильного треугольника),h - высота призмы.

2. Площадь основания: Площадь правильного треугольника со стороной a можно найти по формуле:

• S = (a^2 * sqrt(3)) / 4.

3. Объём призмы равен 144: Подставим значение объёма в формулу:

• 144 = S * h.

4. Высота призмы: Поскольку все рёбра призмы равны, высота h также равна стороне a. Таким образом, мы можем выразить объём призмы через сторону a:

• 144 = S * a.

5. Подставляем выражение для площади:

• 144 = ((a^2 * sqrt(3)) / 4) * a.

6. Упрощаем уравнение:

• 144 = (a^3 * sqrt(3)) / 4.

7. Умножаем обе стороны на 4:

• 576 = a^3 * sqrt(3).

8. Находим a:

• a^3 = 576 / sqrt(3).

9. Теперь найдём радиус основания цилиндра: Радиус r цилиндра, помещённого в призму, равен высоте правильного треугольника, который равен:

• r = (a * sqrt(3)) / 6.

10. Объём цилиндра: Объём цилиндра можно вычислить по формуле:

• V_cylinder = π * r^2 * h.

где h - высота цилиндра, которая равна высоте призмы a.

11. Подставляем значения:

• V_cylinder = π * ((a * sqrt(3)) / 6)^2 * a.

12. Упрощаем:

• V_cylinder = π * (a^2 * 3 / 36) * a = (π * a^3 * sqrt(3)) / 12.

13. Теперь подставим значение a^3:

• V_cylinder = (π * (576 / sqrt(3)) * sqrt(3)) / 12 = (576 * π) / 12 = 48 * π.

Таким образом, объём цилиндра составляет 48π.