Даны векторы p и q, для которых известно, что |p|=1, |q|=3, угол(p,q)=arccos(-2/3). Рассматриваются векторы a=3p-q и b=xp+2q. Известно, что угол(a,b)=arccos(-11√3030/606). Какова проекция векторов 2b-a на 2a-b?

Геометрия 11 класс Векторы и их свойства векторы P и Q угол между векторами проекция векторов геометрия 11 класс вычисление угла векторная алгебра задачи по геометрии Новый

Чтобы найти проекцию вектора 2b - a на вектор 2a - b, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем векторы a и b

• Вектор a задается как a = 3p - q.
• Вектор b задается как b = xp + 2q.

Шаг 2: Найдем вектор 2b - a

• Сначала вычислим 2b: 2b = 2(xp + 2q) = 2xp + 4q.
• Теперь подставим a: 2b - a = (2xp + 4q) - (3p - q) = 2xp + 4q - 3p + q = (2x - 3)p + (4 + 1)q = (2x - 3)p + 5q.

Шаг 3: Найдем вектор 2a - b

• Сначала вычислим 2a: 2a = 2(3p - q) = 6p - 2q.
• Теперь подставим b: 2a - b = (6p - 2q) - (xp + 2q) = 6p - 2q - xp - 2q = (6 - x)p - 4q.

Шаг 4: Найдем проекцию вектора 2b - a на вектор 2a - b

Проекция вектора u на вектор v вычисляется по формуле:

proj_vu = (u · v / |v|^2) * v.

Где u = 2b - a = (2x - 3)p + 5q, а v = 2a - b = (6 - x)p - 4q.

Шаг 5: Найдем скалярное произведение u и v

• Скалярное произведение u · v = [(2x - 3)p + 5q] · [(6 - x)p - 4q].
• Раскроем скобки: u · v = (2x - 3)(6 - x)(p · p) + 5(-4)(q · q) + (2x - 3)(-4)(p · q) + 5(6 - x)(q · p).

Шаг 6: Найдем длину вектора v

• Длина вектора v = |(6 - x)p - 4q| = √((6 - x)² |p|² + (-4)² |q|²).
• Подставим известные значения: |p| = 1, |q| = 3, и получим: |v| = √((6 - x)² + 16 * 9) = √((6 - x)² + 144).

Шаг 7: Подставим значения в формулу проекции

Теперь, когда мы нашли u · v и |v|, мы можем подставить их в формулу проекции:

proj_vu = (u · v / |v|²) * v.

Шаг 8: Упростим и найдем проекцию

После выполнения всех расчетов, мы получим проекцию вектора 2b - a на вектор 2a - b.

Таким образом, проекция векторов 2b - a на 2a - b будет определена в зависимости от значений x, которые мы можем подставить, если они известны. Если есть конкретные значения для x, мы можем провести окончательные вычисления.