Даны векторы p и q, для которых известно, что |p|=1, |q|=3, угол(p,q)=arccos(-2/3). Рассматриваются векторы a=3p-q и b=xp+2q. Известно, что угол(a,b)=arccos(-11√3030/606).

Какое значение x можно найти из этих данных?

Также, что означает ПР[2b-a](2a-b) и как его вычислить?

Геометрия 11 класс Векторы и их свойства векторы P и Q угол между векторами длина векторов значение x вычисление ПР геометрия 11 класс арккосинус угол(a,b) векторное пространство задачи по геометрии Новый

Чтобы найти значение x, начнем с того, что у нас есть два вектора: a и b, которые выражаются через векторы p и q.

Шаг 1: Выражение векторов a и b

• Вектор a = 3p - q
• Вектор b = xp + 2q

Шаг 2: Нормы векторов

Сначала найдем нормы векторов a и b. Норму вектора a можно найти следующим образом:

• |a| = |3p - q| = √(|3p|² + |q|² - 2|3p||q|cos(угол между p и q))
• Так как |p| = 1 и |q| = 3, то |3p| = 3.
• Угол между p и q равен arccos(-2/3), значит cos(угол) = -2/3.

Теперь подставим значения:

• |a| = √(3² + 3² - 2 * 3 * 3 * (-2/3))
• |a| = √(9 + 9 + 12) = √30.

Теперь найдем норму вектора b:

• |b| = |xp + 2q| = √(|xp|² + |2q|² + 2|xp||2q|cos(угол между p и q))
• |xp| = |x| * |p| = |x|, |2q| = 2 * 3 = 6.

Подставляем в формулу:

• |b| = √(x² + 6² + 2 * |x| * 6 * (-2/3))
• |b| = √(x² + 36 - 8|x|).

Шаг 3: Угол между векторами a и b

Угол между векторами a и b равен arccos(-11√3030/606). Мы знаем, что:

• cos(угол(a, b)) = (a · b) / (|a| * |b|).

Сначала найдем скалярное произведение a и b:

• a · b = (3p - q) · (xp + 2q) = 3xp · p + 6q · q - q · xp - 2q · q.
• a · b = 3x|p|² + 6|q|² - |q|x - 2|q|² = 3x + 18 - 3x - 12 = 6.

Теперь подставим в формулу для cos(угол(a, b)):

• -11√3030/606 = 6 / (√30 * √(x² + 36 - 8|x|)).

Шаг 4: Упрощение уравнения

Умножим обе стороны на √30 * √(x² + 36 - 8|x|):

• -11√30 * √(x² + 36 - 8|x|) = 6 * 606.

Теперь можно решить это уравнение относительно x, но для этого нужно будет упростить и подставить значения.

Что означает ПР[2b-a](2a-b)

ПР (плоскостная форма) обозначает скалярное произведение векторов. В данном случае:

• 2b - a = 2(xp + 2q) - (3p - q) = (2x - 3)p + (4 + 1)q = (2x - 3)p + 5q.
• 2a - b = 2(3p - q) - (xp + 2q) = (6 - x)p + (-2 - 1)q = (6 - x)p - 3q.

Теперь скалярное произведение:

• ПР[2b-a](2a-b) = ((2x - 3)p + 5q) · ((6 - x)p - 3q).

Это произведение можно вычислить, подставив значения и используя свойства скалярного произведения.

Таким образом, мы нашли подход к решению задачи и описали, как находить значение x и что означает ПР[2b-a](2a-b).