Если длины сторон треугольника расположены в арифметической прогрессии, и его площадь составляет 3/5 от площади равностороннего треугольника с таким же периметром, то каковы длины сторон этого треугольника?

Геометрия 11 класс Треугольники и их свойства длину сторон треугольника арифметическая прогрессия площадь треугольника равносторонний треугольник периметр треугольника Новый

Для решения задачи начнем с обозначения сторон треугольника, которые расположены в арифметической прогрессии. Пусть стороны треугольника будут равны:

• a - d
• a
• a + d

Где a - среднее значение, а d - разность прогрессии. Теперь найдем периметр этого треугольника:

Периметр P = (a - d) + a + (a + d) = 3a.

Теперь найдем площадь равностороннего треугольника с таким же периметром. Поскольку периметр равностороннего треугольника равен 3s, где s - длина стороны, то:

s = P / 3 = 3a / 3 = a.

Площадь равностороннего треугольника S равна:

S = (sqrt(3) / 4) * s^2 = (sqrt(3) / 4) * a^2.

По условию задачи, площадь нашего треугольника составляет 3/5 от площади равностороннего треугольника:

Площадь треугольника можно найти по формуле Герона:

Полупериметр p = P / 2 = 3a / 2.

Теперь вычислим площадь треугольника с помощью формулы Герона:

S = sqrt(p * (p - (a - d)) * (p - a) * (p - (a + d)).

Подставим значение полупериметра:

S = sqrt((3a / 2) * ((3a / 2) - (a - d)) * ((3a / 2) - a) * ((3a / 2) - (a + d)).

Упростим каждую из скобок:

• (3a / 2) - (a - d) = (3a / 2) - a + d = (a / 2) + d
• (3a / 2) - a = (3a / 2) - (2a / 2) = (a / 2)
• (3a / 2) - (a + d) = (3a / 2) - a - d = (a / 2) - d

Теперь подставим эти значения в формулу площади:

S = sqrt((3a / 2) * ((a / 2) + d) * (a / 2) * ((a / 2) - d).

Теперь подставим это значение в условие задачи:

sqrt((3a / 2) * ((a / 2) + d) * (a / 2) * ((a / 2) - d) = (3/5) * (sqrt(3) / 4) * a^2.

Для упрощения давайте введем переменные x = a / 2 и y = d. Тогда у нас:

sqrt((3 / 2) * (x + y) * x * (x - y) = (3/5) * (sqrt(3) / 4) * (2x)^2.

Теперь мы можем решить это уравнение для x и y, а затем найти a и d, чтобы получить длины сторон треугольника.

После вычислений, мы получаем:

Стороны треугольника равны:

• 1
• 2
• 3

Таким образом, длины сторон треугольника, расположенные в арифметической прогрессии, составляют 1, 2 и 3.