Из одной точки проведены перпендикуляр и две наклонные длиной 10 см и 17 см к данной прямой. Проекции наклонных находятся в отношении 2:5. Какова длина перпендикуляра?

Геометрия 11 класс Треугольники и их свойства геометрия 11 класс перпендикуляр наклонные длина проекции отношение задача решение математические задачи Новый

Для решения данной задачи начнем с обозначения. Пусть точка, из которой проведены отрезки, обозначается как A, а прямая, к которой проведены перпендикуляры и наклонные, будет обозначена как линия BC.

Обозначим длину перпендикуляра от точки A до линии BC как h. Обозначим проекции наклонных на линию BC как x и y, где x - проекция наклонной длиной 10 см, а y - проекция наклонной длиной 17 см.

Согласно условию задачи, проекции наклонных находятся в отношении 2:5. Это можно записать как:

• x/y = 2/5

С помощью этого отношения можем выразить y через x:

• y = (5/2) * x

Теперь, используя теорему Пифагора, можем установить соотношения для наклонных:

• Для наклонной длиной 10 см:
• h^2 + x^2 = 10^2
• h^2 + x^2 = 100

• Для наклонной длиной 17 см:
• h^2 + y^2 = 17^2
• h^2 + y^2 = 289

Теперь подставим значение y в уравнение для наклонной 17 см:

• h^2 + ((5/2) * x)^2 = 289
• h^2 + (25/4) * x^2 = 289

Теперь у нас есть две системы уравнений:

• h^2 + x^2 = 100
• h^2 + (25/4) * x^2 = 289

Теперь выразим h^2 из первого уравнения:

• h^2 = 100 - x^2

Подставим это значение во второе уравнение:

• 100 - x^2 + (25/4) * x^2 = 289

Упростим это уравнение:

• (25/4) * x^2 - x^2 = 289 - 100
• (25/4 - 4/4) * x^2 = 189
• (21/4) * x^2 = 189
• x^2 = (189 * 4) / 21
• x^2 = 36
• x = 6 см

Теперь подставим значение x обратно в уравнение для h:

• h^2 + 6^2 = 100
• h^2 + 36 = 100
• h^2 = 100 - 36
• h^2 = 64
• h = 8 см

Таким образом, длина перпендикуляра составляет 8 см.