Для решения этой задачи мы будем использовать свойства треугольников и некоторые тригонометрические соотношения. Давайте обозначим основание перпендикуляра АО как точку O, а основания наклонных, проведенных из точки A, как точки B и C.

Шаг 1: Найдем высоты от точек B и C до плоскости a.

• Поскольку угол наклона от точки A к плоскости a для наклонной AB равен 45°, то высота OB будет равна длине наклонной AB, так как sin(45°) = 1/√2.
• Таким образом, длина AB равна 48 / sin(45°) = 48 * √2.

Шаг 2: Найдем высоту от точки C до плоскости a.

• Для наклонной AC угол наклона равен 60°, соответственно, высота OC будет равна длине наклонной AC, так как sin(60°) = √3/2.
• Таким образом, длина AC равна 48 / sin(60°) = 48 * (2/√3) = 32√3.

Шаг 3: Теперь найдем расстояние между основаниями B и C.

Угол между наклонными AB и AC равен 30°. Мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками на плоскости, зная их высоты и угол между ними.

Пусть d - расстояние между основаниями B и C. Используем закон косинусов:

• d^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos(30°).
• Подставим найденные значения: AB = 48√2 и AC = 32√3.

Шаг 4: Подсчитаем:

• AB^2 = (48√2)^2 = 4608.
• AC^2 = (32√3)^2 = 3072.
• cos(30°) = √3/2.
• Теперь подставим в формулу: d^2 = 4608 + 3072 - 2 * 48√2 * 32√3 * (√3/2).
• Это упростится до: d^2 = 7680 - 1536√6.

Шаг 5: Найдем d:

Теперь, чтобы найти d, нам нужно извлечь квадратный корень из d^2. Это даст нам расстояние между основаниями наклонных.

Таким образом, окончательный ответ на задачу будет зависеть от точного значения d, которое можно вычислить, используя численные методы или калькулятор.