Как можно доказать, что четырехугольник, образованный соединением вершин правильного восьмиугольника, взятых через одну, является правильным?

Геометрия 11 класс Правильные многоугольники доказательство четырехугольника Правильный восьмиугольник свойства четырёхугольников геометрия 11 класс соединение вершин восьмиугольника Новый

Чтобы доказать, что четырехугольник, образованный соединением вершин правильного восьмиугольника, взятых через одну, является правильным, давайте рассмотрим процесс более подробно.

1. Определение правильного восьмиугольника:
   • Правильный восьмиугольник имеет 8 равных сторон и 8 равных углов.
   • Все его вершины расположены на одной окружности (это окружность, описанная вокруг восьмиугольника).
2. Выбор вершин:
   • Обозначим вершины правильного восьмиугольника как A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8.
   • Мы будем соединять вершины A1, A3, A5 и A7.
3. Проверка равенства сторон:
   • Рассмотрим отрезки A1A3, A3A5, A5A7 и A7A1.
   • Каждый из этих отрезков соединяет вершины, которые расположены через одну вершину. Поскольку восьмиугольник правильный, все его стороны равны, и углы между ними также равны.
   • Сторона A1A3 равна стороне A3A5, поскольку они обе являются хордой одной и той же окружности (окружности, в которую вписан восьмиугольник).
   • Аналогично, стороны A5A7 и A7A1 также равны.
4. Проверка углов:
   • Теперь рассмотрим углы четырехугольника A1A3A5A7.
   • Угол A1A3A5 равен углу A3A5A7, так как они оба являются углами, образованными двумя равными отрезками (A1A3 и A5A7), и имеют одинаковые углы при вершинах A3 и A5 соответственно.
   • Таким образом, все углы четырехугольника равны.
5. Заключение:
   • Мы доказали, что все стороны четырехугольника равны и все углы равны.
   • Следовательно, четырехугольник A1A3A5A7 является правильным.

Таким образом, мы пришли к выводу, что четырехугольник, образованный соединением вершин правильного восьмиугольника, взятых через одну, действительно является правильным четырехугольником.