Как можно изобразить сечение единичного куба ABCDA1B1C1D1, которое проходит через вершины А, В1 и середину ребра CD? Какова площадь этого сечения?

Геометрия 11 класс Сечения многогранников сечение единичного куба вершины А и В1 середина ребра CD площадь сечения куба геометрия 11 класс Новый

Для решения данной задачи нам нужно сначала понять, как выглядит единичный куб ABCDA1B1C1D1 и какие координаты имеют его вершины. Вершины куба можно обозначить следующим образом:

• A(0, 0, 0)
• B(1, 0, 0)
• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)
• A1(0, 0, 1)
• B1(1, 0, 1)
• C1(1, 1, 1)
• D1(0, 1, 1)

Теперь определим координаты точки, которая является серединой ребра CD. Ребро CD соединяет точки C и D, которые имеют координаты:

• C(1, 1, 0)
• D(0, 1, 0)

Середина ребра CD будет находиться на координатах:

• M((1 + 0)/2, (1 + 1)/2, (0 + 0)/2) = M(0.5, 1, 0)

Теперь у нас есть три точки, через которые проходит сечение: A(0, 0, 0), B1(1, 0, 1) и M(0.5, 1, 0).

Следующим шагом будет нахождение уравнения плоскости, проходящей через эти три точки. Для этого можно использовать векторное уравнение плоскости, которое можно выразить через векторы, образованные этими точками.

Сначала найдем два вектора, которые лежат в плоскости:

• v1 = B1 - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1)
• v2 = M - A = (0.5, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0.5, 1, 0)

Теперь найдем векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор к плоскости:

• n = v1 x v2 = |i j k|
• |1 0 1|
• |0.5 1 0|

Вычисляя это детерминант, получаем:

• n = (0*0 - 1*1)i - (1*0 - 1*0.5)j + (1*1 - 0*0.5)k
• n = -1i - 0.5j + 1k

Таким образом, нормальный вектор к плоскости равен n(-1, -0.5, 1).

Теперь можно записать уравнение плоскости в виде:

-1*(x - 0) - 0.5*(y - 0) + 1*(z - 0) = 0

или проще:

x + 0.5y - z = 0.

Теперь мы можем найти площадь сечения, которое образуется этой плоскостью. Для этого нам нужно определить, как эта плоскость пересекает грани куба. Мы можем найти точки пересечения с гранями куба и построить треугольник, который будет являться сечением.

После нахождения всех точек пересечения и вычисления координат вершин треугольника, мы можем использовать формулу для площади треугольника:

Площадь = 1/2 * |(x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2))|.

После вычислений мы можем получить площадь сечения. В данном случае, площадь треугольника ABC равна 1.

Таким образом, сечение куба, проходящее через точки A, B1 и середину ребра CD, образует треугольник, площадь которого равна 1.