Вопрос: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, которая проходит через точки B1, D1 и середину ребра CD. Докажите, что полученное сечение является трапецией.

Геометрия 11 класс Сечения многогранников параллелепипед ABCDA1B1C1D1 сечение плоскость точки B1 D1 середина ребра CD трапеция геометрия 11 класс доказательство свойства трапеции пространственная геометрия геометрические фигуры координаты учебный материал задачи по геометрии Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте сначала изобразим параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Параллелепипед — это трехмерная фигура, у которой все грани являются прямоугольниками. Мы можем представить его следующим образом:

• Точки A, B, C и D находятся в одной плоскости (основание параллелепипеда).
• Точки A1, B1, C1 и D1 находятся над соответствующими точками A, B, C и D на высоте.

Теперь обозначим координаты точек параллелепипеда:

• A (0, 0, 0)
• B (a, 0, 0)
• C (a, b, 0)
• D (0, b, 0)
• A1 (0, 0, h)
• B1 (a, 0, h)
• C1 (a, b, h)
• D1 (0, b, h)

Теперь найдем середину ребра CD. Ребро CD соединяет точки C и D, поэтому его середина M будет находиться в следующей точке:

• M = ((a + 0)/2, (b + b)/2, 0) = (a/2, b, 0)

Теперь мы можем построить плоскость, проходящую через точки B1, D1 и M:

• B1 (a, 0, h)
• D1 (0, b, h)
• M (a/2, b, 0)

Теперь мы определим, какие точки пересекает эта плоскость с другими гранями параллелепипеда. Чтобы доказать, что сечение является трапецией, нам нужно показать, что у нас есть две параллельные стороны.

Рассмотрим точки пересечения плоскости с гранями параллелепипеда:

1. Сечение с гранью A1B1C1D1. Это верхняя грань параллелепипеда.
2. Сечение с гранью ABCD. Это нижняя грань параллелепипеда.

Так как плоскость проходит через B1 и D1, то мы можем утверждать, что отрезок B1D1 является одной из сторон сечения.

Теперь найдем координаты пересечения плоскости с нижней гранью ABCD. Поскольку плоскость проходит через M, то мы можем найти другую точку пересечения на грани ABCD, которая будет находиться на стороне AB или AD.

Допустим, что точка пересечения на стороне AB обозначена как P. Поскольку B и D находятся на одной высоте (h), а M находится на высоте 0, то отрезок PM будет параллелен отрезку B1D1.

Таким образом, у нас есть две стороны: B1D1 и PM, которые являются параллельными. Следовательно, полученное сечение является трапецией, так как у него есть две параллельные стороны и две непараллельные.

В итоге, мы построили сечение плоскостью, проходящей через точки B1, D1 и середину ребра CD, и доказали, что это сечение является трапецией.