В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 5; AD = 4; AA1 = 9. Точка O находится на ребре B B1 и делит его в отношении 4: 5, считая от вершины B. Какова площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O...
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны рёбра AB = 5; AD = 4; AA1 = 9. Точка O находится на ребре B B1 и делит его в отношении 4: 5, считая от вершины B. Какова площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки A, O и C1? Решите задачу, используя темы 10 класса.
Привет! Давай разберем эту задачу шаг за шагом.
1. **Определим координаты точек**:
- Пусть A (0, 0, 0), B (5, 0, 0), C (5, 4, 0), D (0, 4, 0).
- A1 (0, 0, 9), B1 (5, 0, 9), C1 (5, 4, 9), D1 (0, 4, 9).
2. **Найдем координаты точки O**:
- Ребро BB1 имеет длину 9. Точка O делит его в отношении 4:5, то есть 4 части от B и 5 частей от B1.
- Длина от B до O: 4/(4+5) * 9 = 4/9 * 9 = 4.
- Значит, O находится на высоте 4 от B. То есть, O (5, 0, 4).
3. **Теперь у нас есть точки A (0, 0, 0), O (5, 0, 4) и C1 (5, 4, 9)**.
4. **Найдем векторы AO и AC1**:
- Вектор AO = O - A = (5, 0, 4) - (0, 0, 0) = (5, 0, 4).
- Вектор AC1 = C1 - A = (5, 4, 9) - (0, 0, 0) = (5, 4, 9).
5. **Теперь найдем векторное произведение AO и AC1**:
- Векторное произведение:
AO x AC1 = |i j k|
|5 0 4|
|5 4 9|
- Рассчитаем определитель:
= i(0*9 - 4*4) - j(5*9 - 4*5) + k(5*4 - 0*5)
= i(0 - 16) - j(45 - 20) + k(20 - 0)
= (-16i - 25j + 20k).
6. **Найдем длину этого векторного произведения**:
- Длина = √((-16)² + (-25)² + (20)²) = √(256 + 625 + 400) = √1281.
7. **Площадь треугольника AOC1**:
- Площадь = 1/2 * |AO x AC1| = 1/2 * √1281.
Итак, площадь сечения плоскостью, проходящей через точки A, O и C1, равна 1/2 * √1281. Надеюсь, это поможет! Если есть вопросы, не стесняйся спрашивать!