Как можно определить высоту правильной четырехугольной пирамиды, если известна площадь ее боковой поверхности, равная 80 см², и площадь полной поверхности, равная 96 см²?

Геометрия 11 класс Высота правильной четырёхугольной пирамиды высота правильной четырехугольной пирамиды площадь боковой поверхности площадь полной поверхности геометрия 11 класс решение задач по геометрии Новый

Чтобы определить высоту правильной четырехугольной пирамиды, зная площадь боковой поверхности и площадь полной поверхности, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определим площадь основания

Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды состоит из площади боковой поверхности и площади основания. Мы можем записать это в виде формулы:

Площадь полной поверхности = Площадь боковой поверхности + Площадь основания.

Подставим известные значения:

96 см² = 80 см² + Площадь основания.

Теперь найдем площадь основания:

Площадь основания = 96 см² - 80 см² = 16 см².

Шаг 2: Найдем сторону основания

Поскольку основание пирамиды является квадратом (это правильная четырехугольная пирамида), площадь основания можно выразить через сторону квадрата:

Площадь основания = a², где a - длина стороны квадрата.

Таким образом, мы имеем:

a² = 16 см².

Чтобы найти a, возьмем квадратный корень:

a = √16 см = 4 см.

Шаг 3: Найдем высоту боковой грани

Теперь нам нужно найти высоту боковой грани (hб), которая является высотой треугольника, образованного боковой гранью. Площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна:

Площадь боковой поверхности = 2 * a * hб, где a - длина стороны основания, hб - высота боковой грани.

Подставим известные значения:

80 см² = 2 * 4 см * hб.

Теперь решим это уравнение для hб:

80 см² = 8 см * hб.

hб = 80 см² / 8 см = 10 см.

Шаг 4: Найдем высоту пирамиды

Теперь мы знаем высоту боковой грани и можем найти высоту пирамиды (h). Для этого используем теорему Пифагора. Высота пирамиды, высота боковой грани и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Половина стороны основания равна:

Половина стороны = a / 2 = 4 см / 2 = 2 см.

По теореме Пифагора имеем:

hб² = h² + (a/2)².

Подставим известные значения:

10² = h² + 2².

100 = h² + 4.

Теперь решим это уравнение для h:

h² = 100 - 4 = 96.

h = √96 см = 4√6 см.

Таким образом, высота правильной четырехугольной пирамиды составляет 4√6 см.