Какова высота правильной четырехугольной пирамиды SABCD, если все ее ребра равны 1?

Геометрия 11 класс Высота правильной четырёхугольной пирамиды высота правильной четырехугольной пирамиды пирамиды SABCD ребра равны 1 геометрия задачи по геометрии Новый

Чтобы найти высоту правильной четырехугольной пирамиды SABCD с равными ребрами, давайте сначала разберемся с ее структурой.

• Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание ABCD и вершину S, находящуюся над центром этого основания.
• Все ребра пирамиды равны 1, то есть SA = SB = SC = SD = AB = BC = CD = DA = 1.

Первый шаг - найдем длину стороны основания. Поскольку основание является квадратом, его стороны равны. Обозначим длину стороны квадрата как a. В этом случае, по теореме Пифагора для треугольника SAB, где S - вершина пирамиды, A - одна из вершин основания, и O - центр квадрата, мы можем записать:

Сначала найдем расстояние от точки S до центра квадрата O. Центр квадрата O делит диагонали пополам, и его координаты будут (0,0,0) в системе координат, где основание лежит в плоскости XY.

Далее, длина диагонали квадрата равна:

d = a * sqrt(2)

Так как все ребра равны 1, мы можем рассмотреть треугольник SOA (где O - центр основания, A - одна из вершин основания). В этом треугольнике:

SA^2 = SO^2 + OA^2

Здесь:

• SA = 1 (длина ребра),
• OA = a/2 (половина стороны квадрата),
• SO = h (высота пирамиды).

Теперь подставим известные значения в уравнение:

1^2 = h^2 + (a/2)^2

Теперь нам нужно найти a. Поскольку все ребра равны 1, мы можем использовать тот факт, что длина диагонали квадрата равна:

d = a * sqrt(2) = 1 (так как диагональ также является ребром). Отсюда:

a = 1/sqrt(2).

Теперь подставим значение a в уравнение:

1 = h^2 + (1/(2*sqrt(2)))^2

1 = h^2 + 1/8

Теперь решим это уравнение:

h^2 = 1 - 1/8

h^2 = 8/8 - 1/8 = 7/8

Таким образом, высота h равна:

h = sqrt(7/8) = sqrt(7)/2sqrt(2) = sqrt(14)/4.

Итак, высота правильной четырехугольной пирамиды SABCD равна sqrt(14)/4.