Как можно построить сечение правильного тетраэдра DABC, если ребро равно а, так чтобы оно проходило через середину ребра DA и было параллельно плоскости DBC? Какова будет площадь этого сечения?

Геометрия 11 класс Сечения многогранников сечение правильного тетраэдра построение сечения площадь сечения геометрия 11 класс тетраэдр ребро тетраэдра параллельность плоскостей середина ребра задачи по геометрии Новый

Чтобы построить сечение правильного тетраэдра DABC, которое проходит через середину ребра DA и параллельно плоскости DBC, следуем следующим шагам:

1. Определим координаты вершин тетраэдра:
   • D(0, 0, 0)
   • A(a, 0, 0)
   • B(a/2, a√3/2, 0)
   • C(a/2, a√3/6, a√6/3)
2. Найдем середину ребра DA:
   • Середина DA будет находиться в точке M, координаты которой равны:
   • M((0 + a)/2, (0 + 0)/2, (0 + 0)/2) = (a/2, 0, 0)
3. Определим плоскость DBC:
   • Для этого найдем векторы DB и DC:
   • DB = B - D = (a/2, a√3/2, 0) - (0, 0, 0) = (a/2, a√3/2, 0)
   • DC = C - D = (a/2, a√3/6, a√6/3) - (0, 0, 0) = (a/2, a√3/6, a√6/3)
   • Теперь найдем нормальный вектор к плоскости DBC, используя векторное произведение:
4. Находим нормальный вектор:
   • n = DB x DC = |i j k|
   • |a/2 a√3/2 0|
   • |a/2 a√3/6 a√6/3|
   • n = (a√3/2 * a√6/3 - 0 * a/2)i - (0 * a√6/3 - 0 * a/2)j + (a/2 * a√3/6 - a/2 * a√3/2)k
   • n = (a²√2/3)i + 0j - (a²√3/3)k
5. Записываем уравнение плоскости:
   • Уравнение плоскости будет иметь вид:
   • (a²√2/3)(x - 0) + 0(y - 0) - (a²√3/3)(z - 0) = 0
   • или x√2 - z√3 = 0
6. Теперь найдем точку сечения:
   • Поскольку сечение проходит через M(a/2, 0, 0), подставим это значение в уравнение плоскости:
   • √2 * (a/2) - √3 * z = 0
   • z = (√2/√3)(a/2) = (a√2)/(2√3)
   • Таким образом, точка пересечения сечения с плоскостью DBC будет (a/2, 0, (a√2)/(2√3)).
7. Теперь найдем площадь сечения:
   • Сечение будет треугольником, так как оно проходит через середину одного ребра и параллельно плоскости.
   • Площадь треугольника можно найти по формуле:
   • Площадь = (1/2) * основание * высота
   • Основание будет равно a, а высота будет равна (a√2)/(2√3).
   • Таким образом, площадь сечения будет равна:
   • Площадь = (1/2) * a * (a√2)/(2√3) = (a²√2)/(4√3).

Итак, сечение правильного тетраэдра DABC, проходящее через середину ребра DA и параллельное плоскости DBC, будет иметь площадь (a²√2)/(4√3).