Как можно, применяя метод координат, определить cos угла между отрезками BD1 и DB1 в кубе ABCDA1B1C1D1?

Геометрия 11 класс Углы между векторами в пространстве метод координат cos угла отрезки BD1 отрезки DB1 куб ABCDA1B1C1D1 геометрия 11 класс Новый

Чтобы определить косинус угла между отрезками BD1 и DB1 в кубе ABCDA1B1C1D1, воспользуемся методом координат. Рассмотрим шаги решения:

1. Определим координаты вершин куба. Пусть куб имеет длину ребра a. Тогда его вершины можно задать следующими координатами:
• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A1(0, 0, a)
• B1(a, 0, a)
• C1(a, a, a)
• D1(0, a, a)
2. Запишем координаты отрезков BD1 и DB1. Теперь найдем координаты точек B, D1 и D, B1:
• B(a, 0, 0)
• D1(0, a, a)
• D(0, a, 0)
• B1(a, 0, a)
3. Найдем векторы BD1 и DB1. Вектор BD1 можно найти, вычитая координаты точки B из координат точки D1:
• BD1 = D1 - B = (0, a, a) - (a, 0, 0) = (-a, a, a)

Аналогично, для вектора DB1:

• DB1 = B1 - D = (a, 0, a) - (0, a, 0) = (a, -a, a)
4. Найдем скалярное произведение векторов BD1 и DB1. Скалярное произведение двух векторов A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2) рассчитывается по формуле:
• A · B = x1 * x2 + y1 * y2 + z1 * z2

Подставим наши векторы:

• BD1 · DB1 = (-a) * a + a * (-a) + a * a = -a^2 - a^2 + a^2 = -a^2
5. Найдем длины векторов BD1 и DB1. Длина вектора A(x, y, z) вычисляется по формуле:
• |A| = √(x^2 + y^2 + z^2)

Для вектора BD1:

• |BD1| = √((-a)^2 + a^2 + a^2) = √(a^2 + a^2 + a^2) = √(3a^2) = a√3

Для вектора DB1:

• |DB1| = √(a^2 + (-a)^2 + a^2) = √(a^2 + a^2 + a^2) = √(3a^2) = a√3
6. Используем формулу для косинуса угла между векторами. Косинус угла θ между двумя векторами можно найти по формуле:
• cos(θ) = (A · B) / (|A| * |B|)

Подставим наши значения:

• cos(θ) = (-a^2) / (a√3 * a√3) = -a^2 / (3a^2) = -1/3

Таким образом, косинус угла между отрезками BD1 и DB1 равен -1/3.