Как найти координаты и длину вектора AB, если известны точки A(2;-3;4) и B(5;0;-8)?

Как рассчитать 12а-ы для векторов а(2;-1;5) и в(3;-2;4)?

Как определить коллинеарность векторов а(4;-12;-16) и в(-2;6;8) и какой вывод можно сделать на основе этого?

Каков угол между векторами АВ и ВС, если известны точки A(2;-1;3), B(1;1;1) и C(0;0;5)?

Геометрия 11 класс Векторы и их свойства векторы координаты вектора длина вектора коллинеарность векторов угол между векторами геометрия 11 класс расчет векторов точки в пространстве векторное уравнение свойства векторов Новый

Давайте разберем все вопросы по порядку.

1. Как найти координаты и длину вектора AB, если известны точки A(2;-3;4) и B(5;0;-8)?

Для нахождения вектора AB, мы вычитаем координаты точки A из координат точки B. Вектор AB можно записать как:

• AB = B - A = (Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az)

Подставим координаты:

• AB = (5 - 2; 0 - (-3); -8 - 4)
• AB = (3; 3; -12)

Теперь найдем длину вектора AB. Длина вектора рассчитывается по формуле:

• |AB| = √(x² + y² + z²)

Подставим значения:

• |AB| = √(3² + 3² + (-12)²)
• |AB| = √(9 + 9 + 144)
• |AB| = √162
• |AB| = 9√2

Таким образом, координаты вектора AB равны (3; 3; -12), а его длина равна 9√2.

2. Как рассчитать 12а для векторов a(2;-1;5) и b(3;-2;4)?

Чтобы рассчитать 12а, мы просто умножаем каждую координату вектора a на 12:

• 12a = (12 * 2; 12 * (-1); 12 * 5)
• 12a = (24; -12; 60)

Таким образом, 12a = (24; -12; 60).

3. Как определить коллинеарность векторов a(4;-12;-16) и b(-2;6;8)?

Векторы коллинеарны, если один из них является скалярным произведением другого. Это можно проверить, если отношение соответствующих координат векторов одинаково:

• k1 = 4 / -2 = -2
• k2 = -12 / 6 = -2
• k3 = -16 / 8 = -2

Так как все отношения равны, векторы a и b коллинеарны.

Вывод: векторы a и b лежат на одной прямой.

4. Каков угол между векторами AB и BC, если известны точки A(2;-1;3), B(1;1;1) и C(0;0;5)?

Сначала найдем векторы AB и BC:

• AB = B - A = (1 - 2; 1 - (-1); 1 - 3) = (-1; 2; -2)
• BC = C - B = (0 - 1; 0 - 1; 5 - 1) = (-1; -1; 4)

Теперь для нахождения угла между векторами используем формулу:

• cos(θ) = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)

Сначала найдем скалярное произведение AB и BC:

• AB * BC = (-1) * (-1) + 2 * (-1) + (-2) * 4 = 1 - 2 - 8 = -9

Теперь найдем длины векторов AB и BC:

• |AB| = √((-1)² + 2² + (-2)²) = √(1 + 4 + 4) = √9 = 3
• |BC| = √((-1)² + (-1)² + 4²) = √(1 + 1 + 16) = √18 = 3√2

Теперь подставим все в формулу:

• cos(θ) = -9 / (3 * 3√2) = -1 / √2

Теперь найдем угол θ:

• θ = arccos(-1 / √2) = 135°

Таким образом, угол между векторами AB и BC равен 135°.