Как найти расстояние от точки S (3;0;0) до плоскости, образованной треугольником с вершинами A(1;2;1), B(2;1;2) и C(4;3;2)?

Геометрия 11 класс Расстояние от точки до плоскости расстояние от точки до плоскости треугольник ABC координаты точек геометрия 11 класс плоскость в пространстве Новый

Чтобы найти расстояние от точки S до плоскости, образованной треугольником с вершинами A, B и C, нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Найдем векторы AB и AC

Сначала определим векторы, образованные вершинами треугольника:

• Вектор AB = B - A = (2 - 1; 1 - 2; 2 - 1) = (1; -1; 1)
• Вектор AC = C - A = (4 - 1; 3 - 2; 2 - 1) = (3; 1; 1)

Шаг 2: Найдем нормальный вектор плоскости

Чтобы найти нормальный вектор плоскости, мы можем использовать векторное произведение векторов AB и AC:

• n = AB x AC = |i j k|
• |1 -1 1|
• |3 1 1|

Вычисляем детерминант:

• n = i((-1)*1 - 1*1) - j(1*1 - 3*1) + k(1*1 - (-1)*3)
• n = i(-1 - 1) - j(1 - 3) + k(1 + 3)
• n = -2i + 2j + 4k

Таким образом, нормальный вектор n = (-2; 2; 4).

Шаг 3: Найдем уравнение плоскости

Уравнение плоскости можно записать в общем виде:

-2(x - x0) + 2(y - y0) + 4(z - z0) = 0,

где (x0, y0, z0) - координаты одной из вершин треугольника, например, A(1; 2; 1).

Подставим координаты точки A:

• -2(x - 1) + 2(y - 2) + 4(z - 1) = 0

Раскроем скобки:

• -2x + 2 + 2y - 4 + 4z - 4 = 0

Соберем все в одну сторону:

• -2x + 2y + 4z - 6 = 0

Упростим уравнение:

• 2x - 2y - 4z + 6 = 0.

Шаг 4: Найдем расстояние от точки S до плоскости

Расстояние d от точки S(x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 можно найти по формуле:

d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2).

Подставим значения:

• A = 2, B = -2, C = -4, D = 6
• Координаты точки S: (3; 0; 0)

Подставляем в формулу:

• d = |2*3 - 2*0 - 4*0 + 6| / sqrt(2^2 + (-2)^2 + (-4)^2)
• d = |6 + 6| / sqrt(4 + 4 + 16)
• d = 12 / sqrt(24)
• d = 12 / (2*sqrt(6))
• d = 6 / sqrt(6) = sqrt(6).

Таким образом, расстояние от точки S до плоскости, образованной треугольником ABC, равно sqrt(6).