Как найти угол между плоскостями AMN и CMN в кубе ABCDA1B1C1D1, если точки M и N являются серединами рёбер BB1 и DD1 соответственно? Пожалуйста, помогите с решением и пояснением.

Геометрия 11 класс Угол между плоскостями Угол между плоскостями куб ABCDA1B1C1D1 точки M и N середины ребер геометрия 11 класс решение задачи по геометрии Новый

Для нахождения угла между плоскостями AMN и CMN в кубе ABCDA1B1C1D1, где M и N являются серединами рёбер BB1 и DD1, мы можем воспользоваться векторным методом. Давайте разберёмся по шагам.

Шаг 1: Определение координат точек

Сначала определим координаты всех точек куба. Пусть куб имеет длину ребра a. Тогда координаты точек будут следующими:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a, a, 0)
• D(0, a, 0)
• A1(0, 0, a)
• B1(a, 0, a)
• C1(a, a, a)
• D1(0, a, a)

Теперь найдём координаты точек M и N:

• M - середина ребра BB1: M((a + a) / 2, 0, (0 + a) / 2) = (a, 0, a / 2)
• N - середина ребра DD1: N((0 + 0) / 2, (a + a) / 2, (0 + a) / 2) = (0, a, a / 2)

Шаг 2: Определение векторов

Теперь определим два вектора, которые лежат в плоскостях AMN и CMN:

• Вектор AM = M - A = (a - 0, 0 - 0, a/2 - 0) = (a, 0, a/2)
• Вектор AN = N - A = (0 - 0, a - 0, a/2 - 0) = (0, a, a/2)
• Вектор CM = M - C = (a - a, 0 - a, a/2 - 0) = (0, -a, a/2)
• Вектор CN = N - C = (0 - a, a - a, a/2 - 0) = (-a, a, a/2)

Шаг 3: Нахождение нормалей к плоскостям

Теперь найдём нормали к плоскостям AMN и CMN, используя векторное произведение:

• Нормаль к плоскости AMN: N1 = AM x AN
• Нормаль к плоскости CMN: N2 = CM x CN

Шаг 4: Нахождение угла между плоскостями

Угол между двумя плоскостями можно найти через угол между их нормалями. Угол θ между векторами N1 и N2 вычисляется по формуле:

cos(θ) = (N1 • N2) / (|N1| * |N2|),

где • - скалярное произведение векторов, а |N| - длина вектора.

Шаг 5: Подсчёты

Выполнив все необходимые операции, мы получим угол между плоскостями AMN и CMN. Для этого необходимо будет подставить найденные значения в формулу и вычислить.

Таким образом, мы можем найти угол между плоскостями, используя векторный метод, что позволяет избежать сложных геометрических построений и сделать решение более наглядным.