Какой угол образуют плоскости (АВ1С1) и (АВС) в кубе АВСDA1B1C1D1?

Геометрия 11 класс Угол между плоскостями Угол между плоскостями плоскости в кубе геометрия 11 класс куб ABCDA1B1C1D1 угол плоскостей задачи по геометрии геометрические фигуры Новый

Чтобы найти угол между плоскостями (АВ1С1) и (АВС) в кубе АВСDA1B1C1D1, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

Шаг 1: Определение нормалей к плоскостям

Сначала мы найдем нормали к обеим плоскостям. Нормаль к плоскости можно определить по векторам, которые лежат в этой плоскости.

• Для плоскости (АВ1С1):
• Векторы, лежащие в этой плоскости, можно взять как AB1 и AC1.
• Вектор AB1: B1 - A = (1, 0, 1) - (0, 0, 0) = (1, 0, 1).
• Вектор AC1: C1 - A = (0, 1, 1) - (0, 0, 0) = (0, 1, 1).
• Теперь найдем нормаль к плоскости (АВ1С1) с помощью векторного произведения:
• n1 = AB1 x AC1 = (1, 0, 1) x (0, 1, 1).
• n1 = (0*1 - 1*1, 1*1 - 1*0, 1*0 - 0*1) = (-1, 1, 0).
• Для плоскости (АВС):
• Векторы, лежащие в этой плоскости, можно взять как AB и AC.
• Вектор AB: B - A = (1, 0, 0) - (0, 0, 0) = (1, 0, 0).
• Вектор AC: C - A = (0, 1, 0) - (0, 0, 0) = (0, 1, 0).
• Теперь найдем нормаль к плоскости (АВС):
• n2 = AB x AC = (1, 0, 0) x (0, 1, 0).
• n2 = (0*0 - 0*1, 0*0 - 0*1, 1*1 - 0*0) = (0, 0, 1).

Шаг 2: Нахождение угла между нормалями

Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Для нахождения угла между векторами n1 и n2 используем формулу:

cos(θ) = (n1 • n2) / (|n1| * |n2|),

где "•" - скалярное произведение, а |n| - длина вектора n.

• Сначала найдем скалярное произведение n1 и n2:
• n1 • n2 = (-1, 1, 0) • (0, 0, 1) = -1*0 + 1*0 + 0*1 = 0.
• Теперь найдем длины векторов:
• |n1| = sqrt((-1)^2 + 1^2 + 0^2) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2).
• |n2| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = sqrt(1) = 1.

Шаг 3: Подставляем значения в формулу

Теперь подставим все найденные значения в формулу:

cos(θ) = 0 / (sqrt(2) * 1) = 0.

Шаг 4: Нахождение угла

Так как cos(θ) = 0, это означает, что угол θ = 90 градусов.

Ответ: Угол между плоскостями (АВ1С1) и (АВС) равен 90 градусов.