Какой угол образуют плоскости, описанные уравнениями x + y = 0 и √2x + √2z = 0?

Геометрия 11 класс Угол между плоскостями Угол между плоскостями уравнения плоскостей геометрия плоскостей угол между плоскостями в пространстве угол между уравнениями Новый

Чтобы найти угол между двумя плоскостями, заданными уравнениями, нам нужно сначала определить нормальные векторы этих плоскостей.

1. **Нормальный вектор первой плоскости**:

• Уравнение первой плоскости: x + y = 0.
• Это уравнение можно записать в виде: 1*x + 1*y + 0*z = 0.
• Таким образом, нормальный вектор первой плоскости: N1 = (1, 1, 0).

2. **Нормальный вектор второй плоскости**:

• Уравнение второй плоскости: √2x + √2z = 0.
• Это уравнение можно записать в виде: √2*x + 0*y + √2*z = 0.
• Таким образом, нормальный вектор второй плоскости: N2 = (√2, 0, √2).

3. **Нахождение угла между нормальными векторами**:

Угол θ между двумя векторами можно найти с помощью формулы:

cos(θ) = (N1 · N2) / (|N1| * |N2|),

где "·" — скалярное произведение векторов, а |N| — длина вектора.

4. **Вычислим скалярное произведение N1 и N2**:

• N1 · N2 = (1 * √2) + (1 * 0) + (0 * √2) = √2.

5. **Вычислим длины векторов**:

• |N1| = √(1^2 + 1^2 + 0^2) = √2.
• |N2| = √((√2)^2 + 0^2 + (√2)^2) = √(2 + 2) = √4 = 2.

6. **Подставим значения в формулу**:

cos(θ) = (√2) / (√2 * 2) = 1 / 2.

7. **Находим угол θ**:

θ = arccos(1/2).

Это значение соответствует углу 60 градусов.

Ответ: угол между плоскостями, заданными уравнениями x + y = 0 и √2x + √2z = 0, равен 60 градусам.