Как вычислить объем пирамиды, если апофема правильной треугольной пирамиды равна 6, а двугранный угол при основании составляет 30 градусов?

Геометрия 11 класс Объём пирамиды объём пирамиды апофема треугольной пирамиды Двугранный угол геометрия 11 класс вычисление объёма формула объёма пирамиды Новый

Чтобы вычислить объем пирамиды, нам нужно знать площадь основания и высоту пирамиды. В данном случае у нас есть апофема и двугранный угол при основании.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды.

Апофема правильной треугольной пирамиды - это расстояние от вершины пирамиды до середины стороны основания, перпендикулярное этой стороне. Двугранный угол при основании равен 30 градусов. Это значит, что мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты.

Обозначим:

• h - высота пирамиды;
• l - апофема (в данном случае l = 6);
• α - двугранный угол (в данном случае α = 30 градусов).

С помощью тригонометрического соотношения, мы можем выразить высоту через апофему:

h = l * cos(α).

Подставляем значения:

h = 6 * cos(30°).

Зная, что cos(30°) = √3/2, получаем:

h = 6 * (√3/2) = 3√3.

Шаг 2: Найдем площадь основания.

Основание правильной треугольной пирамиды - это правильный треугольник. Чтобы найти площадь основания, нам нужно знать длину стороны основания.

Используем соотношение для нахождения стороны основания через апофему и угол:

Сторона основания (a) связана с апофемой и углом следующим образом:

a = l * sin(α).

Подставляем значения:

a = 6 * sin(30°).

Зная, что sin(30°) = 1/2, получаем:

a = 6 * (1/2) = 3.

Теперь найдем площадь основания (S) правильного треугольника:

S = (√3/4) * a² = (√3/4) * 3² = (√3/4) * 9 = (9√3)/4.

Шаг 3: Найдем объем пирамиды.

Объем V пирамиды рассчитывается по формуле:

V = (1/3) * S * h.

Подставляем значения:

V = (1/3) * (9√3)/4 * 3√3.

Упрощаем:

V = (1/3) * (9 * 3) / 4 = (27/4).

Ответ: Объем пирамиды равен 27/4.