Вопрос: Основание пирамиды является прямоугольником с катетами 12 см и 16 см. Все боковые ребра пирамиды образуют с ее высотой углы, равные 45 градусов. Каков объем этой пирамиды?

Геометрия 11 класс Объём пирамиды геометрия 11 класс объём пирамиды основание пирамиды прямоугольник катеты боковые ребра высота Углы 45 градусов задачи по геометрии формулы объёма расчет объема пирамиды с прямоугольным основанием Новый

Для решения задачи о вычислении объема пирамиды с прямоугольным основанием, необходимо выполнить несколько шагов:

Шаг 1: Вычисление площади основания пирамиды

Основание пирамиды является прямоугольником с катетами 12 см и 16 см. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:

Площадь = длина * ширина

Таким образом, площадь основания (S) будет равна:

S = 12 см * 16 см = 192 см²

Шаг 2: Определение высоты пирамиды

Из условия задачи известно, что все боковые ребра пирамиды образуют с её высотой углы, равные 45 градусов. Это означает, что высота (h) пирамиды и длина бокового ребра (l) равны между собой:

h = l * sin(45°)

Поскольку sin(45°) = 1/√2, можно записать:

h = l * 1/√2

Кроме того, в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, половиной основания и боковым ребром, также выполняется равенство:

l = h * √2

Таким образом, мы можем выразить высоту через основание. Половина основания равна:

Полуоснование = √((12 см)² + (16 см)²) = √(144 + 256) = √400 = 20 см

Теперь, используя соотношение между высотой и боковым ребром, получаем:

h = 20 см / √2 = 20√2 / 2 = 10√2 см

Шаг 3: Вычисление объема пирамиды

Объем пирамиды (V) вычисляется по формуле:

V = (1/3) * S * h

Подставим известные значения:

V = (1/3) * 192 см² * 10√2 см

V = (1920√2) / 3 см³

V = 640√2 см³

Итог:

Объем данной пирамиды составляет 640√2 см³.