Решение:

1. Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной $S$, $SA = 6$ см — апофема пирамиды, $∠SADB = 45°$.

2. Так как $SD$ — высота пирамиды, то треугольник $ASD$ прямоугольный. По свойству двугранного угла при ребре основания $AD$ угол $SAD$ равен $45°$, следовательно, треугольник $ASD$ равнобедренный и $SD = SA = 6$.

3. Треугольник $ABD$ также равнобедренный, так как пирамида правильная, поэтому $BD = AD$.

4. Найдём сторону квадрата $ABCD$. В прямоугольном треугольнике $ASB$ гипотенуза $SB$ равна $\sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$.

5. Сторона квадрата $AB = BC = CD = AD = BD$ является катетом прямоугольного треугольника $ASB$, поэтому по теореме Пифагора:

$AB^2 = SB^2 - SA^2 = (6\sqrt{2})^2-6^2=72$

Следовательно, сторона квадрата равна $AB=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$

6. Площадь основания пирамиды равна:

$S_{осн}=AB^2=432$

7. Объём пирамиды равен:

$V=\frac{1}{3}S_{осн}\cdot SD=\frac{432}{3}\cdot6=864$

Ответ: 864 куб.см.

Объяснение:

В решении используется свойство правильной четырёхугольной пирамиды, согласно которому все боковые рёбра равны, а также свойство двугранного угла, которое позволяет определить высоту пирамиды. Затем применяется теорема Пифагора для нахождения стороны квадрата основания. После этого вычисляется площадь основания и объём пирамиды.