Как вычислить площадь равнобедренной трапеции, которая описана около окружности радиусом 2 см, если острый угол трапеции составляет 30 градусов?

Геометрия 11 класс Площадь равнобедренной трапеции площадь равнобедренной трапеции окружность радиус 2 см острый угол 30 градусов геометрия 11 класс вычисление площади трапеции Новый

Для вычисления площади равнобедренной трапеции, описанной около окружности, необходимо использовать некоторые свойства таких фигур. В данном случае, мы знаем радиус окружности и угол, который образуют боковые стороны трапеции. Давайте разберем шаги решения этой задачи.

Шаг 1: Определение параметров трапеции

Пусть равнобедренная трапеция имеет основания a и b, а боковые стороны обозначим как c. Поскольку трапеция описана около окружности, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

• a + b = 2c

Шаг 2: Использование радиуса окружности

Радиус окружности (r) равен 2 см. Площадь трапеции можно выразить через радиус окружности и полупериметр (p) следующим образом:

• Площадь S = r * p

Где полупериметр p равен:

• p = (a + b + 2c) / 2

Шаг 3: Определение боковой стороны трапеции

Для равнобедренной трапеции, угол между основанием и боковой стороной равен 30 градусов. Мы можем выразить боковую сторону через высоту h и половину разности оснований:

• h = c * sin(30°) = c * 0.5
• Полуразность оснований: (a - b) / 2 = c * cos(30°) = c * (sqrt(3)/2)

Шаг 4: Введение переменных

Обозначим половину разности оснований как x:

• x = (a - b) / 2 = c * (sqrt(3)/2)

Тогда можно выразить основания через x и c:

• a = b + 2x
• a + b = 2c

Шаг 5: Подставляем значения

Теперь мы можем выразить a и b через c и x:

• b + 2x + b = 2c
• 2b + 2c * (sqrt(3)/2) = 2c
• 2b + c * sqrt(3) = 2c
• 2b = 2c - c * sqrt(3)
• b = c * (1 - sqrt(3)/2)

Теперь подставим b в выражение для a:

• a = c * (1 - sqrt(3)/2) + 2 * c * (sqrt(3)/2) = c * (1 + sqrt(3)/2)

Шаг 6: Вычисление площади

Теперь мы можем найти полупериметр p:

• p = (a + b + 2c) / 2 = (c * (1 + sqrt(3)/2) + c * (1 - sqrt(3)/2) + 2c) / 2 = (4c) / 2 = 2c

Теперь подставим в формулу для площади:

• S = r * p = 2 * 2c = 4c

Шаг 7: Определение c

Так как радиус окружности равен 2 см, а c можно выразить через радиус окружности и угол, мы можем найти c:

• c = r / sin(30°) = 2 / 0.5 = 4 см

Шаг 8: Подставляем значение c в формулу площади

Теперь мы можем найти площадь:

• S = 4 * 4 = 16 см²

Ответ: Площадь равнобедренной трапеции составляет 16 см².