Какие из следующих утверждений верны? Обоснуйте свои ответы.

1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается основания в его середине.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов.
3. Точка, равноудалённая от всех вершин треугольника, всегда лежит внутри треугольника.
4. Через любую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной прямой.
5. Биссектриссы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Заранее спасибо за помощь!

Геометрия 11 класс Треугольники и их свойства геометрия 11 класс свойства треугольников окружность треугольника внешний угол треугольника биссектрисса параллелограмма Новый

Давайте рассмотрим каждое из утверждений по отдельности и выясним, какие из них верны, а какие нет.

1. Окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается основания в его середине.

Это утверждение верно. В равнобедренном треугольнике, если провести биссектрису угла при вершине, она делит основание на два равных отрезка. Поскольку вписанная окружность касается всех сторон треугольника, то точка касания с основанием будет находиться в середине этого основания.

2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов.

Это утверждение также верно. Внешний угол треугольника образуется при продлении одной из его сторон. Он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Это свойство треугольников является базовым и часто используется в геометрии.

3. Точка, равноудалённая от всех вершин треугольника, всегда лежит внутри треугольника.

Это утверждение неверно. Точка, равноудалённая от всех вершин треугольника, называется центроидом, и он может находиться внутри треугольника только в случае, если треугольник остроугольный. В случае тупоугольного треугольника такая точка будет находиться вне треугольника.

4. Через любую точку плоскости можно провести прямую, параллельную данной прямой.

Это утверждение верно и является следствием аксиомы параллельности. Согласно этой аксиоме, через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, которая будет с ней параллельна.

5. Биссектриссы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом.

Это утверждение неверно. Биссектриссы соседних углов параллелограмма пересекаются под углом, который равен половине угла между этими углами. В общем случае этот угол не равен 90 градусам, так как углы параллелограмма могут быть различными.

Таким образом, верные утверждения: 1, 2 и 4. Утверждения 3 и 5 неверны.