Какое уравнение сферы можно составить, если известны координаты концов диаметра, точки А (2; -3; 5) и В (4; 1; -3)?

Геометрия 11 класс Уравнение сферы уравнение сферы координаты концов диаметра Точки А точки В геометрия 11 класс диаметр сферы формула уравнения сферы координаты точки расчет уравнения сферы геометрия 3D координаты Новый

Для того чтобы составить уравнение сферы, нам нужно знать центр сферы и радиус. В данном случае мы имеем две точки, А (2; -3; 5) и В (4; 1; -3), которые являются концами диаметра сферы. Давайте разберемся, как найти центр и радиус сферы шаг за шагом.

Шаг 1: Найдем центр сферы.

Центр сферы О будет серединой отрезка AB. Для нахождения координат этой точки воспользуемся формулой:

• x_O = (x_A + x_B) / 2
• y_O = (y_A + y_B) / 2
• z_O = (z_A + z_B) / 2

Подставим координаты точек:

• x_O = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
• y_O = (-3 + 1) / 2 = -2 / 2 = -1
• z_O = (5 + (-3)) / 2 = 2 / 2 = 1

Таким образом, координаты центра сферы О равны (3; -1; 1).

Шаг 2: Найдем радиус сферы.

Радиус сферы равен половине длины отрезка AB. Сначала найдем длину отрезка AB с помощью формулы:

Длина AB = √((x_B - x_A)² + (y_B - y_A)² + (z_B - z_A)²)

Подставим значения:

• Длина AB = √((4 - 2)² + (1 - (-3))² + ((-3) - 5)²)
• Длина AB = √(2² + 4² + (-8)²)
• Длина AB = √(4 + 16 + 64) = √84

Радиус сферы будет равен половине длины отрезка, то есть:

Радиус = Длина AB / 2 = √84 / 2.

Шаг 3: Составим уравнение сферы.

Уравнение сферы имеет вид:

(x - x_O)² + (y - y_O)² + (z - z_O)² = r²

Где (x_O, y_O, z_O) — координаты центра, а r — радиус.

Подставим найденные значения:

• (x - 3)² + (y + 1)² + (z - 1)² = (√84 / 2)²
• (x - 3)² + (y + 1)² + (z - 1)² = 84 / 4 = 21

Итак, уравнение сферы, заданной концами диаметра в точках А и В, будет:

(x - 3)² + (y + 1)² + (z - 1)² = 21.