Какова длина основания равнобедренного треугольника, если угол при основании составляет 30 градусов, а высота треугольника на 2 единицы больше радиуса вписанной в него окружности?

Геометрия 11 класс Равнобедренные треугольники длина основания равнобедренного треугольника угол при основании 30 градусов высота треугольника радиус вписанной окружности Новый

Чтобы найти длину основания равнобедренного треугольника, давайте обозначим некоторые величины и использовать известные свойства треугольника.

Обозначим:

• h - высота треугольника;
• r - радиус вписанной окружности;
• a - длина основания треугольника;
• c - длина боковой стороны треугольника.

По условию задачи, высота треугольника h на 2 единицы больше радиуса вписанной окружности r:

h = r + 2

Теперь, используя свойства равнобедренного треугольника, можем выразить радиус вписанной окружности через высоту и основание. Для равнобедренного треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:

r = (a/2) * (h / (h + c))

Также, учитывая, что угол при основании составляет 30 градусов, мы можем использовать тригонометрию для нахождения высоты и боковой стороны:

Высота h делит основание a на две равные части, поэтому:

(a/2) = h * tan(30°)

Так как tan(30°) = 1/sqrt(3), мы можем записать:

(a/2) = h * (1/sqrt(3))

Отсюда:

a = 2h/sqrt(3)

Теперь подставим выражение для a в формулу для радиуса r:

r = (a/2) * (h / (h + c))

Поскольку c можно выразить через h и угол 30 градусов, используя теорему Пифагора:

c = h / sin(30°) = 2h

Подставим c в формулу для r:

r = (a/2) * (h / (h + 2h)) = (a/2) * (h / (3h)) = (a/6)

Теперь подставим значение r в уравнение h = r + 2:

h = (a/6) + 2

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a = 2h/sqrt(3)
2. h = (a/6) + 2

Подставим первое уравнение во второе:

h = (1/6)*(2h/sqrt(3)) + 2

Умножим все на 6sqrt(3) для удобства:

6h * sqrt(3) = 2h + 12sqrt(3)

Переносим все h на одну сторону:

(6sqrt(3) - 2)h = 12sqrt(3}

Теперь найдем h:

h = 12sqrt(3) / (6sqrt(3) - 2)

Теперь, подставив значение h обратно в уравнение для a:

a = 2 * (12sqrt(3) / (6sqrt(3) - 2)) / sqrt(3)

Упростив это выражение, мы получим длину основания равнобедренного треугольника a.

Таким образом, мы можем найти длину основания треугольника, подставив числовые значения и упростив выражение.