Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, а угол между ними составляет 45 градусов. Как можно доказать, что основание этого треугольника больше 1/2, не используя теоремы косинусов, синусов и тангенсов, а опираясь на обычные базовые теоремы сравнения углов и сторон?

Геометрия 11 класс Равнобедренные треугольники равнобедренный треугольник боковые стороны равны угол 45 градусов доказательство основания теоремы сравнения углов стороны треугольника геометрия 11 класс Новый

Для начала, давайте обозначим наш равнобедренный треугольник как ABC, где AB = AC = 1, а угол BAC равен 45 градусов. Мы хотим доказать, что основание BC больше 1/2.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим угол ABC как x. Тогда угол ACB также равен x. Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, мы можем записать:

• 45 + x + x = 180
• 2x = 180 - 45
• 2x = 135
• x = 67.5 градусов

2. Теперь у нас есть все углы треугольника ABC:

• Угол A = 45 градусов
• Угол B = 67.5 градусов
• Угол C = 67.5 градусов

3. Теперь применим неравенство треугольника. Мы знаем, что в любом треугольнике сумма длин двух сторон всегда больше длины третьей стороны. В нашем случае это значит:

• AB + AC > BC
• 1 + 1 > BC
• 2 > BC

Это лишь говорит о том, что BC меньше 2, но нам нужно доказать, что BC больше 1/2.

4. Чтобы доказать это, давайте рассмотрим высоту, проведенную из вершины A на основание BC. Обозначим точку D как основание этой высоты. Тогда треугольник ABD и треугольник ACD являются прямоугольными треугольниками.

5. Поскольку угол BAC равен 45 градусов, то высота AD делит угол A пополам, и угол ABD равен 22.5 градуса. Теперь, по свойству прямоугольного треугольника, мы можем сказать, что:

• AD = AB * sin(22.5)
• AD = 1 * sin(22.5)

6. Поскольку угол ABD равен 22.5 градуса, мы знаем, что он меньше 30 градусов. Это значит, что высота AD будет больше, чем половина основания BC. Таким образом, основание BC должно быть больше 1/2, чтобы высота AD оставалась положительной.

7. В итоге, мы можем сделать вывод, что основание BC действительно больше 1/2, так как высота, проведенная из вершины A, должна быть положительной и меньше 1.

Таким образом, мы доказали, что основание BC равнобедренного треугольника ABC с боковыми сторонами, равными 1, и углом между ними, равным 45 градусов, больше 1/2.