Для нахождения длины периметра треугольника CAD, нам нужно сначала определить длины сторон этого треугольника. Мы знаем, что отрезок AB перпендикулярен плоскости α, а длина AB составляет 1. Также у нас есть углы, которые помогут найти длины отрезков AC и AD.

1. Сначала обозначим длины отрезков:

• AB = 1
• AC = x
• AD = y

2. Теперь, учитывая угол ∠ACB = 30 градусов, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения длины AC:

• Согласно определению синуса, мы можем записать:
• sin(∠ACB) = противолежащий катет / гипотенуза = AB / AC
• Таким образом, sin(30°) = 1 / x.
• Зная, что sin(30°) = 0.5, мы можем записать: 0.5 = 1 / x.
• Отсюда следует, что x = 2.

3. Теперь найдем длину отрезка AD, используя угол ∠ADB = 60 градусов:

• Также используя тригонометрические соотношения, мы можем записать:
• sin(∠ADB) = противолежащий катет / гипотенуза = AB / AD.
• Таким образом, sin(60°) = 1 / y.
• Зная, что sin(60°) = √3 / 2, мы можем записать: √3 / 2 = 1 / y.
• Отсюда следует, что y = 2 / √3.

4. Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника CAD:

• AC = 2
• AD = 2 / √3
• CD = AB = 1

5. Теперь мы можем найти периметр треугольника CAD, сложив все его стороны:

• Периметр = AC + AD + CD.
• Периметр = 2 + (2 / √3) + 1.

6. Упрощаем выражение:

• Периметр = 3 + (2 / √3).

Таким образом, длина периметра треугольника CAD равна 3 + (2 / √3).