Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, давайте разберем задачу по шагам:

1. Определим стороны треугольника в основании:
   • У нас есть прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 4√3 см, а прилежащий угол равен 60 градусов.
   • Вспомним, что в прямоугольном треугольнике с углом 60 градусов, катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы, а другой катет равен половине гипотенузы умноженной на корень из трех.
   • Катет, который равен 4√3 см, соответствует стороне, которая в два раза больше другого катета в треугольнике 30-60-90 градусов, то есть гипотенуза равна 8 см.
   • Таким образом, второй катет равен 4 см (половина гипотенузы).
2. Найдем площадь треугольника в основании:
   • Площадь треугольника равна половине произведения катетов: (1/2) * 4√3 * 4 = 8√3 см².
3. Определим высоту пирамиды:
   • Все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом 45 градусов.
   • Это значит, что высота пирамиды равна длине катета, умноженной на тангенс угла наклона. Тангенс 45 градусов равен 1, следовательно, высота пирамиды равна длине катета, который равен 4 см.
4. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды:
   • Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых треугольников.
   • Каждый из боковых треугольников имеет основание, равное стороне треугольника в основании пирамиды. Поскольку у нас три боковых треугольника, мы рассмотрим их отдельно.
   • Площадь каждого бокового треугольника можно найти как половину произведения основания на высоту (высота равна высоте пирамиды, то есть 4 см).
   • Для треугольника с основанием 4√3 см: площадь = (1/2) * 4√3 * 4 = 8√3 см².
   • Для треугольника с основанием 4 см: площадь = (1/2) * 4 * 4 = 8 см².
   • Для треугольника с гипотенузой 8 см (так как это равносторонний треугольник): площадь = (1/2) * 8 * 4 = 16 см².
   • Суммируем площади боковых треугольников: 8√3 + 8 + 16 = 8√3 + 24 см².

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 8√3 + 24 см².