Чтобы найти площадь четырехугольника A1KCD1, нам нужно сначала понять, как он расположен в кубе. Давайте последовательно разберем шаги решения.

• Пусть A(0, 0, 0), B(12, 0, 0), C(12, 12, 0), D(0, 12, 0).
• Вертикальные вершины будут: A1(0, 0, 12), B1(12, 0, 12), C1(12, 12, 12), D1(0, 12, 12).

Точка K находится на ребре AB. Мы знаем, что KS = 2BK. Обозначим длину отрезка BK как x. Тогда KS = 2x. Поскольку K находится на отрезке AB, его координаты можно выразить как K(12 - x, 0, 0).

С учетом того, что KS = 2BK, мы можем выразить координаты точки S. Поскольку K находится на ребре AB, то S будет находиться на линии, соединяющей K и B. Таким образом, координаты S можно выразить как:

• S = K + (B - K) * (2/3) = (12 - x, 0, 0) + ((12, 0, 0) - (12 - x, 0, 0)) * (2/3).

Четырехугольник A1KCD1 состоит из треугольников A1KC и A1CD1. Площадь четырехугольника можно найти, сложив площади этих треугольников.

Площадь треугольника можно найти по формуле:

• Площадь = 0.5 * основание * высота.

Основанием будет отрезок KC, а высотой - расстояние от A1 до плоскости, содержащей K и C.

Аналогично, площадь треугольника A1CD1 также рассчитывается по той же формуле.

Сложив площади треугольников A1KC и A1CD1, мы получим общую площадь четырехугольника A1KCD1.

Таким образом, для окончательного ответа необходимо подставить значения и выполнить вычисления, исходя из конкретных координат и расстояний. Учитывая, что ребро куба равно 12, можно провести необходимые расчеты для нахождения площади.