Какова площадь полной поверхности прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если в основании находится параллелограмм ABCD, где диагональ BD перпендикулярна стороне AB, при этом AB=3 см, BD=4 см, а плоскость AB1C1 образует угол 45 градусов с плоскостью основания?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности прямого параллелепипеда площадь полной поверхности прямой параллелепипед параллелограмм ABCD диагональ BD перпендикулярная сторона AB AB=3 см BD=4 см угол 45 градусов плоскость AB1C1 плоскость основания Новый

Чтобы найти площадь полной поверхности прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, начнем с вычисления площади основания, а затем добавим площади боковых граней.

Шаг 1: Площадь основания ABCD

В основании у нас параллелограмм ABCD, где известны длины стороны AB и диагонали BD. Поскольку BD перпендикулярна стороне AB, мы можем разбить параллелограмм на два прямоугольных треугольника.

• Длина стороны AB = 3 см.
• Длина диагонали BD = 4 см.

Для нахождения высоты параллелограмма используем теорему Пифагора в треугольнике ABD:

• AB² + h² = BD²
• где h - высота, проведенная из точки A на сторону BD.

Подставим известные значения:

• 3² + h² = 4²
• 9 + h² = 16
• h² = 16 - 9 = 7
• h = √7 см.

Теперь можем найти площадь параллелограмма ABCD:

• Площадь = основание * высота = AB * h = 3 см * √7 см = 3√7 см².

Шаг 2: Высота параллелепипеда

Теперь определим высоту параллелепипеда. Поскольку плоскость AB1C1 образует угол 45 градусов с плоскостью основания, это означает, что высота параллелепипеда равна длине отрезка A1B1, который перпендикулярен плоскости основания.

При угле 45 градусов высота равна длине стороны основания, деленной на корень из 2:

• h = AB / √2 = 3 см / √2 = (3√2) / 2 см.

Шаг 3: Площадь боковых граней

Теперь найдем площади боковых граней. У нас есть 4 боковые грани, каждая из которых является прямоугольником. Площади боковых граней можно найти следующим образом:

• Площадь грани AB1B = AB * h = 3 см * (3√2) / 2 см = (9√2) / 2 см².
• Площадь грани AD1D = AD * h. Поскольку AD = AB = 3 см, площадь также равна (9√2) / 2 см².
• Площадь грани BC1C = BC * h, где BC = AB = 3 см, площадь также равна (9√2) / 2 см².
• Площадь грани CD1D = CD * h, где CD = AB = 3 см, площадь также равна (9√2) / 2 см².

Суммарная площадь боковых граней будет равна:

• 4 * (9√2) / 2 = 18√2 см².

Шаг 4: Площадь полной поверхности

Теперь суммируем площади основания и боковых граней:

• Площадь полной поверхности = площадь основания + площадь боковых граней = 3√7 см² + 18√2 см².

Таким образом, окончательно площадь полной поверхности прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 равна:

3√7 + 18√2 см².