Какова площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, если его основание - ромб со стороной 6 см и углом 60°, а меньшая диагональ параллелепипеда равна 1 дм?

Геометрия 11 класс Площадь поверхности прямого параллелепипеда площадь полной поверхности прямой параллелепипед ромб сторона 6 см угол 60° меньшая диагональ 1 дм Новый

Ответ:

Площадь полной поверхности прямого параллелепипеда равна (192 + 36√3) см².

Объяснение:

Задача: Найдите площадь полной поверхности прямого параллелепипеда, если его основание - ромб со стороной 6 см и углом 60°, а меньшая диагональ параллелепипеда равна 1 дм.

Дано:

• ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямой параллелепипед;
• ABCD - ромб;
• Сторона ромба (AB) = 6 см;
• Меньшая диагональ (BD₁) = 1 дм = 10 см.

Найти: Площадь полной поверхности (Sполн).

Решение:

• Площадь полной поверхности параллелепипеда равна:

Sполн. = Sбок. + 2Sосн.

• Сначала найдем площадь боковой поверхности (Sбок.):

Sбок. = Pосн. * H,

где Pосн. - периметр основания, H - высота параллелепипеда.

Теперь найдем площадь основания - ромба. Площадь ромба можно найти по формуле:

S = a² * sin(α),

где a - сторона ромба, α - угол между сторонами.

Подставим известные значения:

Sосн. = 6² * sin(60°) = 36 * (√3 / 2) = 18√3 см².

Теперь найдем высоту параллелепипеда. Рассмотрим треугольник ABD:

∠A = 60°.

• Так как это равнобедренный треугольник с углом 60°, он также является равносторонним, следовательно, AB = BD = 6 см.

Теперь рассмотрим треугольник BD₁D. Здесь BD₁ = 10 см (меньшая диагональ).

• Так как боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны основанию, треугольник BD₁D является прямоугольным.

По теореме Пифагора:

D₁D² = BD₁² - BD² = 10² - 6² = 100 - 36 = 64,

отсюда D₁D = √64 = 8 см.

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

Sбок. = Pосн. * H = (4 * 6) * 8 = 192 см².

Теперь найдем полную площадь:

Sполн. = Sбок. + 2Sосн. = 192 + 2 * 18√3 = 192 + 36√3 см².

Итак, итоговая площадь полной поверхности прямого параллелепипеда равна (192 + 36√3) см².