Каково расстояние от вершины A правильного тетраэдра ABCD с ребром √6 до плоскости BDC?

Геометрия 11 класс Расстояние от точки до плоскости расстояние от вершины правильный тетраэдр плоскость BDC геометрия 11 класс задача по геометрии Новый

Чтобы найти расстояние от вершины A правильного тетраэдра ABCD до плоскости BDC, следуем следующему алгоритму:

Шаг 1: Определим координаты вершин тетраэдра ABCD.

• Пусть A(0, 0, h) - вершина тетраэдра, где h - высота, которую мы найдем.
• Вершины B, C и D расположим в плоскости XY. Для правильного тетраэдра они будут находиться на расстоянии √6 от A.
• Рассмотрим B(√6/2, √6/2, 0), C(√6/2, -√6/2, 0) и D(-√6/2, 0, 0).

Шаг 2: Найдем высоту h.

Для правильного тетраэдра высота h может быть найдена по формуле:

h = (√2/√3) * длина ребра.

Так как длина ребра равна √6, то:

h = (√2/√3) * √6 = √4 = 2.

Таким образом, координаты вершины A будут A(0, 0, 2).

Шаг 3: Найдем уравнение плоскости BDC.

Для нахождения уравнения плоскости, проходящей через три точки B, C и D, используем координаты этих точек:

• B(√6/2, √6/2, 0)
• C(√6/2, -√6/2, 0)
• D(-√6/2, 0, 0)

Вектор BC = C - B = (0, -√6, 0),

Вектор BD = D - B = (-√6, -√6/2, 0).

Теперь найдем вектор нормали плоскости, взяв векторное произведение BC и BD.

Шаг 4: Найдем векторное произведение.

Векторное произведение BC и BD дает нам нормальный вектор плоскости:

• BC = (0, -√6, 0)
• BD = (-√6, -√6/2, 0)

Векторное произведение BC x BD = (0, 0, -√6 * -√6/2 - 0 * -√6) = (0, 0, 3).

Таким образом, нормальный вектор плоскости BDC равен (0, 0, 3), и уравнение плоскости имеет вид:

3z = 0.

Шаг 5: Найдем расстояние от точки A до плоскости BDC.

Расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - координаты нормального вектора, D - свободный член уравнения плоскости, а (x, y, z) - координаты точки.

Подставляем значения:

• A = 0, B = 0, C = 3, D = 0.
• Координаты точки A(0, 0, 2).

Подставляем в формулу:

d = |0*0 + 0*0 + 3*2 + 0| / sqrt(0^2 + 0^2 + 3^2) = |6| / 3 = 2.

Ответ:

Расстояние от вершины A до плоскости BDC равно 2.