Каковы длины отрезков и координаты точек в следующих задачах по геометрии?

1. В правильном тетраэдре РАВС с ребром 1, где Н, R и М - центры граней, а D и F - середины ребер, найдите:
• а) РН;
• б) RH;
• в) АМ;
• г) RM;
• д) DF.
2. В правильном тетраэдре РАВС со всеми ребрами длиной 8, где М и К - середины ребер, а Е находится на ребре, найдите:
• а) точку Х, пересечения прямой МЕ и плоскости АВС;
• б) точку Х, пересечения прямой КЕ и плоскости АВС;
• в) длину отрезка X1X2;
• г) точку пересечения прямой МЕ и плоскости АКС;
• д) прямую пересечения плоскостей МХ, К и ХРС;
• е) в каком отношении плоскость МХ, Х делит отрезок РВ (считая от точки В).
3. В кубе ABCDA, B,C,D1 с ребром 8, где М - середина АА1, а N лежит на ребре, найдите:
• а) точку Х, пересечения MN и плоскости АВС;
• б) точку Х, пересечения MN и плоскости А1B1C1;
• в) длину Х1Х2;
• г) точку Х3 пересечения ВХ и плоскости DD1C;
• д) в каком отношении точка Х3 делит отрезок DC (считая от D);
• е) общую прямую плоскостей X1X2X3 и АА1B.

Геометрия 11 класс Геометрия многогранников геометрия длины отрезков координаты точек правильный тетраэдр куб задачи по геометрии пересечение прямых плоскости середины ребер длина отрезка Новый

Для решения задач по геометрии, связанных с правильными тетраэдрами и кубами, важно использовать координатный метод. Давайте разберем каждую задачу по порядку.

Задача 1: Правильный тетраэдр РАВС с ребром 1

1. Установим координаты вершин тетраэдра:

• Р(0, 0, 0)
• А(1, 0, 0)
• В(0.5, sqrt(3)/2, 0)
• С(0.5, sqrt(3)/6, sqrt(6)/3)

Теперь найдем координаты точек Н, R, M, D и F:

• Н - центр грани ABC: (0.5, sqrt(3)/6, sqrt(6)/9)
• R - центр грани ABP: (0.5, 0, sqrt(6)/6)
• M - центр грани ACP: (0.5, sqrt(3)/12, sqrt(6)/6)
• D - середина ребра AB: (0.5, 0, 0)
• F - середина ребра AC: (0.75, sqrt(3)/12, sqrt(6)/6)

Теперь найдем длины отрезков:

1. РН: Расстояние между Р и Н:
   • РН = sqrt((0.5-0)^2 + (sqrt(3)/6-0)^2 + (sqrt(6)/9-0)^2) = sqrt(0.25 + 0.25 + 0.1) = sqrt(0.6) ≈ 0.775
2. RH: Расстояние между R и Н:
   • RH = sqrt((0.5-0.5)^2 + (sqrt(3)/6-0)^2 + (sqrt(6)/9-sqrt(6)/6)^2) = sqrt(0 + 0.25 + (sqrt(6)/18)^2) ≈ 0.1
3. АМ: Расстояние между A и M:
   • АМ = sqrt((0.5-1)^2 + (sqrt(3)/12-0)^2 + (sqrt(6)/6-0)^2) = sqrt(0.25 + 0.25 + 0.25) = sqrt(0.75) ≈ 0.866
4. RM: Расстояние между R и M:
   • RM = sqrt((0.5-0.5)^2 + (sqrt(3)/12-sqrt(3)/6)^2 + (sqrt(6)/6-sqrt(6)/6)^2) = sqrt(0 + (sqrt(3)/12)^2) = sqrt(0.0625) ≈ 0.25
5. DF: Расстояние между D и F:
   • DF = sqrt((0.75-0.5)^2 + (sqrt(3)/12-0)^2 + (sqrt(6)/6-0)^2) = sqrt(0.0625 + 0.25 + 0.25) = sqrt(0.5625) ≈ 0.75

Задача 2: Правильный тетраэдр с ребром 8

1. Устанавливаем координаты вершин:

• Р(0, 0, 0)
• А(8, 0, 0)
• В(4, 4*sqrt(3), 0)
• С(4, 4*sqrt(3)/3, 8*sqrt(6)/3)

Координаты точек М и К:

• М - середина ребра АА1: (4, 0, 0)
• К - середина ребра АС: (6, 2*sqrt(3), 4*sqrt(6)/3)

Теперь найдем точку X:

1. Точка X пересечения прямой МЕ и плоскости ABC:
   • Для нахождения точки, подставим уравнение прямой в уравнение плоскости. Уравнение плоскости ABC можно найти по координатам вершин.
2. Точка X пересечения прямой КЕ и плоскости ABC:
   • Аналогично предыдущему пункту, подставляем координаты и находим пересечение.
3. Длина отрезка X1X2:
   • Используем формулу расстояния между двумя точками.
4. Точка X3 пересечения ВХ и плоскости DD1C:
   • Опять же, подставляем координаты и находим пересечение.
5. В каком отношении точка X3 делит отрезок DC:
   • Используем координаты точек D и C для нахождения отношения.
6. Общая прямая плоскостей X1X2X3 и АА1B:
   • Для нахождения общей прямой нужно решить систему уравнений.
Задача 3: Куб ABCDA, B,C,D1 с ребром 8

1. Устанавливаем координаты вершин:

• A(0, 0, 0)
• B(8, 0, 0)
• C(8, 8, 0)
• D(0, 8, 0)
• A1(0, 0, 8)
• B1(8, 0, 8)
• C1(8, 8, 8)
• D1(0, 8, 8)

Координаты точки М и N:

• М - середина A и A1: (0, 0, 4)
• N - точка на ребре, например N(8, 4, 0)

Теперь найдем точку X:

1. Точка X пересечения MN и плоскости ABC:
   • Подставляем уравнения и находим пересечение.
2. Точка X пересечения MN и плоскости A1B1C1:
   • Аналогично предыдущему пункту.
3. Длина X1X2:
   • Используем формулу расстояния.
4. Точка X3 пересечения ВХ и плоскости DD1C:
   • Опять же, подставляем и находим.
5. В каком отношении точка X3 делит отрезок DC:
   • Используем координаты для нахождения отношения.
6. Общая прямая плоскостей X1X2X3 и АА1B:
   • Решаем систему уравнений для нахождения общей прямой.

Каждая из задач требует внимательного подхода к нахождению координат и применения формул для расчета расстояний и пересечений. Убедитесь, что вы понимаете каждый шаг, чтобы успешно решать подобные задачи в будущем.

1 2 3 4 5