Шар радиуса R касается всех граней трехгранного угла, где плоские углы равны 90 градусам. Каково расстояние от центра шара до вершины этого угла?

Геометрия 11 класс Геометрия многогранников шар радиуса r трехгранный угол расстояние от центра шара вершина угла плоские углы 90 градусов Новый

Чтобы найти расстояние от центра шара до вершины трехгранного угла, начнем с понимания геометрии данной фигуры.

Трехгранный угол состоит из трех перпендикулярных плоскостей, которые образуют угол в 90 градусов. Вершина этого угла - это точка, где встречаются все три плоскости.

Шар радиуса R касается всех трех плоскостей. Это означает, что расстояние от центра шара до каждой из плоскостей равно R.

Теперь давайте обозначим центр шара как точку O. Мы можем представить трехгранный угол в трехмерном пространстве с осями координат X, Y и Z. Вершина угла будет находиться в точке (0, 0, 0), а центр шара будет находиться в некоторой точке (x, y, z), где x, y и z - это координаты центра.

Так как шар касается всех трех плоскостей, то:

• Расстояние от O до плоскости XY (где Z=0) равно R, значит z = R.
• Расстояние от O до плоскости XZ (где Y=0) равно R, значит y = R.
• Расстояние от O до плоскости YZ (где X=0) равно R, значит x = R.

Таким образом, координаты центра шара O будут (R, R, R).

Теперь нам нужно найти расстояние от точки O (R, R, R) до вершины угла (0, 0, 0). Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

Расстояние D = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²),

где (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) - координаты двух точек.

Подставляя наши значения:

• (x1, y1, z1) = (R, R, R)
• (x2, y2, z2) = (0, 0, 0)

Получаем:

D = √((0 - R)² + (0 - R)² + (0 - R)²) = √(R² + R² + R²) = √(3R²) = R√3.

Таким образом, расстояние от центра шара до вершины трехгранного угла равно R√3.